Evaluar $\int_{0}^{∞}(1+x^2)^{−(m+1)}dx$ donde m es un número natural.

Question

PREGUNTA: Evaluar $$\int_{0}^{}(1+x^2)^{(m+1)}dx$$ donde m es un número natural.

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MI RESPUESTA: Observando la pregunta, la primera sustitución que hice es cambiar $x$ a $tan\theta$ ya que $1+tan^2\theta=sec^2\theta$ Esto debería llevarme a alguna parte.

Ahora, cambiando los límites de la integración y después de algunos cálculos fáciles, llego a- $$\int_{0}^{\frac{}2}(cos\theta)^{2m}d\theta$$ Ya que, no sabemos que valor de $m$ ¿cómo resolvemos esa integración?

Estoy atrapado aquí. Se agradece cualquier respuesta o método alternativo. Muchas gracias.

Answer 1

En cuanto a la Función beta , $$\int_0^{\pi/2}\cos^{2m}\theta d\theta=\frac12\operatorname{B}\left(m+\frac12,\,\frac12\right)=\frac{\Gamma\left(m+\frac12\right)\Gamma\left(\frac12\right)}{2\Gamma(m+1)}=\frac{(2m)!}{m!^22^{2m+1}}\pi.$$

Answer 2

Utilizando el hecho de que $\cos (x) = (e^{ix} + e^{-ix})/2$ , amplíe su integrando para obtener $$\frac{2^{-2m}}{4}\sum_{k=0}^{2m} {2m \choose k}\int_0^{2\pi} e^{i2kx} e^{-i2mx}\,dx.$$ Pero la ortogonalidad de las exponenciales complejas en el intervalo $[0, 2\pi]$ nos dice inmediatamente que la integral es proporcional a la delta de kronecker como $2\pi\delta_{m, k}$ . Esta su integral se reduce a $$\pi\,2^{-2m+1}{2m \choose m}.$$

Answer 3

Denote

$$I_m= \int_{0}^{\infty}\frac{1}{(1+x^2)^{m+1}}\ dx$$

Usted tiene $I_0= \frac{\pi}{2}$ y con la integración por partes

$$\begin{aligned}I_m &= \int_{0}^{\infty}\frac{1+x^2}{(1+x^2)^{m+2}}\ dx = I_{m+1} + \int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{(1+x^2)^{m+2}}\ dx\\ &=I_{m+1}+\left[x \left(\frac{-1}{2m+2}\frac{1}{(1+x^2)^{m+1}}\right)\right]_0^\infty + \frac{1}{2m+2} I_m \end{aligned}$$

Por lo tanto, la relación

$$I_{m+1} = \frac{2m+1}{2m+2} I_m$$

A partir de ahí se puede calcular $I_m$ .