Expansión asintótica para las raíces de la ecuación cúbica singular

Question

Encuentra los tres primeros términos no nulos en la expansión asintótica para cada una de las tres raíces de la ecuación cúbica $$\epsilon x^3+x^2-1=0, |\epsilon|<<1.$$

Encontré las expansiones $1-\frac{\epsilon}{2}+\frac{5}{8}\epsilon^2$ y $-1-\frac{\epsilon}{2}-\frac{5}{8}\epsilon^2$ sustituyendo el ansatz $x=x_0+x_1\epsilon+x_2\epsilon^2$ en la ecuación y poniendo los términos iguales.

Tengo problemas para encontrar la expansión de la tercera raíz. He tenido que utilizar muchos términos en el ansatz ya que obtengo coeficientes nulos. Reescalando $x=\frac{X}{\epsilon^n}$ y el equilibrio dominante dan $n=1$ y la ecuación $X^3+X^2-\epsilon^2=0$ . Sustituyendo $X=x_0+x_1\epsilon+x_2\epsilon^2$ y resolviendo para $x_0,x_1,…$ da $$\begin{cases}x_0^3+x_0^2=0\\2x_0x_1+3x_0^2x_1=0 \\ 2x_0x_2+3x_0^2x_2+x_1^2+3x_0x_1^2-1=0 \end{cases}$$ Resolviendo esto obtengo $x_0=-1$ ( $x_0=0$ da las soluciones anteriores), $x_1=0$ , $x_2=1$ . Como tengo un coeficiente cero, he utilizado dos términos más en el ansatz y entonces también obtengo (utilizando Wolfram Alpha) una ecuación $2x_0x_3+3x_0^2x_3+2x_1x_2+6x_0x_1x_2+x_1^3=0$ para que también $x_3=0$ y $2x_0x_4+3x_0^2x_4+2x_1x_3+6x_0x_1x_3+3x_1^2x_2+x_2^2+3x_0x_2^2$ para que $x_4=2$ .

Por lo tanto, la expansión es $x=-\frac{1}{\epsilon}+\epsilon+2\epsilon^3$ . Esto sería muy tedioso de hacer a mano, así que me pregunto si estoy haciendo algo mal o si hay una manera más rápida?

Answer 1

En mi opinión, probablemente sea mejor hacer la expansión paso a paso y trabajar en cada paso en los términos "restantes" en lugar de sustituir el ansatz en un solo paso.

La ecuación es $X^3+X^2-\epsilon^2=0$ como se ha notado el primer término es $x_0=-1$ .

Dejemos que $x=x_0+y_0$ con $y_0=o(1)$ . Entonces la ecuación se reescribe como $$(-1+y_0)^3+(-1+y_0)^2-\epsilon^2=0$$ es decir $$y_0^3-2y_0^2+y_0-\epsilon^2=0$$ por lo que el primer orden (en $y_0$ ) es bastante simple, $y_0=\epsilon^2+o(\epsilon^2)$ .

Una vez más, dejemos que $y_0=\epsilon^2(1+y_1)$ con $y_1=o(1)$ .

Entonces la ecuación en $y_1$ es: $$\epsilon^6(1+y_1)^3-2\epsilon^4(1+y_1)^2+\epsilon^2(1+y_1)-\epsilon^2=0$$ es decir $$\epsilon^4 y_1^3+(3 \epsilon^4-2 \epsilon^2) y_1^2 +(3 \epsilon^4-4 \epsilon^2+1)y_1+(\epsilon^4-2 \epsilon^2)=0$$ así que $y_1=2\epsilon^2(1+y_2)$ con $y_2=o(1)$ etc.

Answer 2

Tal vez quieras experimentar la alegría del cálculo tedioso, pero yo hago que mi esclavo informático lo haga por mí y lo recompenso con tiempo extra para hacer rebotar polígonos virtuales por la pantalla.

Simplemente calcula las raíces cúbicas explícitamente y expándelas en una serie de potencias. En Mathematica el código se ve así:

rootlis=Solve[e*x^3+x^2-1==0, x];

Table[Apart[Simplify[Normal[Series[rootlis[[k]][[1]][[2]],{e,0,3}]]]],{k,1,3}]

La respuesta es: {1-e/2+5*e^2/8-e^3, -1/e+e+2*e^3,-1-e/2-5*e^2/8-e^3}

Answer 3

Una forma sencilla es emplear el método de Newton para localizar la raíz $\zeta_0$ más cerca de $x=1$ y luego utilizar dicha información junto con las fórmulas de Vieta para derivar el comportamiento asintótico de las otras raíces. Dos/tres pasos del método de Newton conducen a $$ \zeta_0 = 1-\frac{1}{2}\varepsilon+\frac{5}{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3) $$ y sobre las otras raíces tenemos $$\left\{\begin{array}{rcl}\zeta_1 \zeta_2 &=& -\frac{1}{\varepsilon\zeta_0}\\\zeta_1+\zeta_2 &=& -\frac{1}{\varepsilon}-\zeta_0\end{array}\right. $$ por lo que $$\left\{\zeta_1,\zeta_2\right\} =\left\{-\frac{1}{\varepsilon}-2+2\varepsilon-\frac{21}{4}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3),1-\frac{3}{2}\varepsilon+\frac{37 }{8}\varepsilon^2+O(\varepsilon^3)\right\}.$$ Lo mismo puede derivarse a través de Fórmula de inversión de Lagrange .