¿Son los objetos compactos en las categorías de preseafs colímites finitos de los representables?

Question

Un objeto $x$ en una categoría $\mathsf{C}$ se llama compacto o finamente presentable si $$\mathrm{hom}(x,-) : \mathsf{C} \to \mathsf{Set}$$ conserva colímetros filtrados . Este concepto se comporta mejor cuando $\mathsf{C}$ tiene todos los colímites filtrados, por ejemplo, cuando es la categoría de presheaves en alguna categoría pequeña $\mathsf{X}$ :

$$ \mathsf{C} = \mathsf{Set}^{\mathsf{X}^{\mathrm{op}}} $$

Todo presheaf representable es compacto. En general, todo colímite finito de objetos compactos es compacto. Por tanto, todo colímite finito de representables es compacto.

Mi pregunta se refiere a la inversa: en la categoría de presheaves sobre una categoría pequeña, ¿es todo objeto compacto un colímite finito de representables?

Answer 1

Sí, lo es. La razón es:

• cada objeto de su categoría presheaf es un colímite de representables;
• por lo que cada objeto es un colímite filtrado de objetos que son colímites finitos de representables;
• por lo que, aplicando la definición de objeto compacto, se obtiene un monomorfismo de división de su objeto compacto $X$ a un colímite finito $T$ de representables. Para concluir, escribe $X$ como el coequipamiento de $Id_T$ y el idempotente de $T$ dado por su mono dividido.

Answer 2

Creo que la respuesta de Aurelien Djament es esencialmente correcta, pero quiero puntualizar un poco.

1. Si $\mathcal A$ es cualquier categoría localmente presentable y $\mathcal C \subseteq \mathcal A$ es cualquier generador fuerte de objetos finitamente presentables, entonces todo objeto finitamente presentable $X \in \mathcal A$ se encuentra en el cierre de $\mathcal C$ bajo colímites finitos. Así que $X$ es un colímite finito de colímite finito de ... de colímite finito de objetos de $\mathcal C$ -- un " $n$ -colímite finito de objetos de $\mathcal C$ . Pero $X$ no tiene por qué ser un colímite finito de "1 paso" de los objetos de $\mathcal C$ . Por ejemplo, no creo que todo grupo finitamente representado sea un colímite finito de copias de $\mathbb Z$ .

2. Se podría reforzar la hipótesis y preguntar: si $\mathcal A$ es una categoría localmente presentable y $\mathcal C \subseteq \mathcal A$ es un denso generador, entonces es todo objeto finitamente representable $X \in \mathcal A$ un colímite finito de objetos de $\mathcal C$ ? No sé la respuesta a esto.

3. Pero centrémonos en la cuestión que nos ocupa, es decir, en el caso de que $\mathcal A = \hat {\mathcal C}$ es una categoría de preseaf y $\mathcal C$ son los representables. Sea $\tilde {\mathcal C}$ comprenden las colimitas finitas de los representables. Entonces, efectivamente, $\tilde {\mathcal C}$ es cerrado bajo colímites finitos. Esto está claro para los coproductos finitos - basta con tomar el coproducto de los diagramas de indexación para los colímites. Ahora dejemos que $A\rightrightarrows B \to C$ sea un coequalizador donde $A,B \in \tilde {\mathcal C}$ . Entonces hay un epimorfismo $\amalg_i X_i \to A$ y un diagrama coigualador $\amalg_j Y_j \rightrightarrows \amalg_k Z_k \to B$ donde $X_i,Y_j,Z_k \in \mathcal C$ y los coproductos son finitos. Los mapas compuestos $\amalg_i X_i \to A \rightrightarrows B$ subir a los mapas $\amalg_i X_i \rightrightarrows \amalg_k Z_k$ . Entonces tenemos que $C$ es el coigualador de los dos mapas inducidos $(\amalg_i X_i) \amalg (\amalg_j Y_j) \rightrightarrows \amalg_k Z_k$ .

   Ahora afirmo que si $f,g \amalg_{i \in I} X_i \rightrightarrows \amalg_{k \in K} Z_k$ son dos mapas con coequivalente $C$ y si el $X_i$ son representables, entonces $C$ es el colímite del siguiente diagrama. En efecto, para cada $i \in I$ hay un único $k = k_0(i) \in K$ tal que $X_i \to \amalg_{i \in I} X_i \xrightarrow f \amalg_{k \in K} Z_k$ factores a través de $Z_k$ , y de forma similar a $k_1(i)$ para $g$ . El conjunto de indexación para nuestro diagrama tiene el conjunto de objetos $I \amalg K$ y los morfismos de no identidad son un mapa $i \to k_0(i)$ y un mapa $i \to k_1(i)$ para cada $i \in I$ . Entonces $C$ es el colímite del diagrama obvio que envía $i \mapsto X_i$ y $k \mapsto Z_k$ . Este diagrama es finito si $I$ y $K$ son.

   Así, en nuestro caso, $C \in \tilde{\mathcal C}$ como se desee.

Quiero enfatizar que aquí usamos mucho el hecho de que estamos en una categoría de presheaf.

4. Estoy de acuerdo en que cualquier categoría que tenga colimits finitos y colimits filtrados tiene todos los colimits. Pero el segundo punto de Aurelien parece sugerir algo más fuerte -- que si $X$ es un colímite de objetos de $\mathcal C$ entonces $X$ es un colímite filtrado de colímetros finitos de objetos de $\mathcal C$ . No tengo un contraejemplo, pero no estoy seguro de que esto sea cierto. Lo más cercano que puedo convencerme es que $X$ es un coigualador de coproductos de objetos de $\mathcal C$ y, por lo tanto, un coigualador de colimits filtrados de coproductos finitos de objetos de $\mathcal C$ -- pero esto sólo asegura que $X$ es un colímite finito de colímetros filtrados de colímetos finitos de objetos de $\mathcal C$ .

5. Pero utilizando (3), la tercera viñeta de Aurelien pasa con alguna modificación. Como en cualquier categoría localmente presentable de forma finita $\mathcal A$ con un fuerte generador $\mathcal C$ cualquier objeto finitamente representable está en la clausura de la $\mathcal C$ bajo colímites finitos. Por (3), en el caso $\mathcal A = \hat{\mathcal C}$ el cierre de $\mathcal C$ bajo colímites finitos consiste exactamente en $\tilde{\mathcal C}$ , los objetos que son colímites finitos "de 1 paso" de los representables. Aquí, (3) se utiliza en realidad en 2 lugares: primero para asegurar que la categoría $\tilde C \downarrow X$ se filtra (siendo este el diagrama que indexa el colímite canónico para $X$ ), y en segundo lugar para garantizar que $\tilde{\mathcal C}$ se cierra bajo los repliegues.