Plano tangente a una superficie en $\mathbb{R}^3$

Question

Dejemos que $$f(x,y)= x^4+2y^4+(x-y)^2$$ y considerar el plano $z= ax+by$ .

Demuestre que existe al menos un plano tangente a $$f(x,y)= x^4+2y^4+(x-y)^2$$ de forma que sea paralela a $z= ax+by$ .

Mi idea es tomar la diferencia $$f(x,y)= x^4+2y^4+(x-y)^2 -(ax+by)$$ y si tiene un mínimo entonces sería un plano tangente allí pero ¿cómo puedo demostrarlo?

Gracias de antemano.

Answer 1

Tenemos que $f_x(x,y)=4x^3+2(x-y)$ , $f_y(x,y)=8y^3-2(x-y)$ . Entonces el plano tangente en $x_0,y_0$ viene dada por $$z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$$ Este plano tangente es paralelo a $z=ax+by$ si el sistema $$4x_0^3+2(x_0-y_0)=f_x(x_0,y_0)=a, \quad 8y_0^3-2(x_0-y_0)=f_y(x_0,y_0)=b$$ tiene al menos una solución $(x_0,y_0)$ .

De la primera ecuación obtenemos $y_0=(4x_0^3+2x_0-a)/2$ . Entonces, sustituyendo $y_0$ en la segunda ecuación, obtenemos un polinomio en $x_0$ de grado 9. Como el grado es impar, tiene al menos una raíz real. Por tanto, el sistema es resoluble.