Convergente condicional - límite de la serie".

Question

Dejemos que $\sum_{n=1}^\infty a_n$ sea condicionalmente convergente.

Dejemos que $k_n:= \max(a_n,0),l_n:=-\min(a_n,0)$ para $n\in \mathbb{N}$ y demostrar que

$\sum_{n=1}^\infty k_n =\infty $ y $\sum_{n=1}^\infty l_n=\infty$ .

He encontrado este ejercicio en algún foro de matemáticas alemán y el post correspondiente estaba cerrado por falta de respuestas.

Ahora me puse a prueba y puedo visualizar que los límites de esas series es $\infty$ porque, al no ser absolutamente convergente es $>0$ en caso de $k_n$ y también en caso de $l_n$ porque $\min(a_n,0)<0$ y el $(-)$ lo volvería a hacer positivo.

¿Pero cómo puedo demostrarlo matemáticamente? ¿O es suficiente la argumentación que he dado?

Answer 1

En primer lugar tenemos $$\sum k_n+\sum l_n\stackrel{(1)}=\sum(k_n+l_n)\stackrel{(2)}=\sum |a_n|\stackrel{(3)}=\infty $$ donde $(1)$ es válida porque todos los $k_n,l_n$ son no negativos, $(2)$ es válido porque $k_n+l_n=|a_n|$ por definición de $k_n,l_n$ y $(3)$ es válida por supuesto. Por tanto, al menos una de las series de la izquierda diverge a $\infty$ . Si el otro fuera finito (es decir, o bien $\sum k_n=K<\infty$ o $\sum l_n=L<\infty$ ), tendríamos $$\sum a_n=\sum k_n-\sum l_n=\begin{cases}K-\infty=-\infty\text{ or}\\\infty-L=+\infty\end{cases} $$ contrario a lo que se supone.

Answer 2

Desde $a_n = k_n - l_n$ y $|a_n| = k_n + l_n$ la condición de la serie $\sum\limits_{n = 1}^\infty a_n$ implica $\sum\limits_{n = 1}^\infty (k_n - l_n)$ converge y $\sum\limits_{n = 1}^\infty (k_n + l_n)$ diverge. Como la suma y la diferencia de una serie convergente y una serie divergente son divergentes, se deduce que $\sum\limits_{n = 1}^\infty 2k_n$ es divergente y $\sum\limits_{n = 1}^\infty 2l_n$ es divergente. Así que ambos $\sum\limits_{n = 1}^\infty k_n$ y $\sum\limits_{n = 1}^\infty l_n$ son divergentes.

Answer 3

Si $\sum a_n$ es condicionalmente convergente, entonces $\sum a_n$ converge, pero $\sum |a_n|=\infty$ o, en otras palabras

$$\lim_{n\to\infty}\sum_{m=0}^na_m=\infty$$

Dejemos que $P=\{n\in\Bbb N: a_n\ge 0\}$ .

$$k_n=\begin{cases}a_n, & n\in P\\0, & n\notin P\end{cases}$$

Esto da $$\sum_{n=0}^\infty k_n=\sum_{n\in P} |a_n|=\infty.$$

La última igualdad se mantiene porque $\lim_{n\to\infty}|a_n|=\infty$ implica que cualquier subsecuencia de sumas parciales también se acerca al infinito.

El argumento para $\sum l_n$ es similar.