Valores esperados con la elección de los mismos

Question

Hola estaba trabajando en esta pregunta para mi revisión del examen:

Un frasco contiene $17$ bolas rojas y $5$ bolas azules. Repite lo siguiente $12$ tiempos: Elija una bola uniformemente al azar (y déjela en el tarro). Deje que $X$ sea la variable aleatoria cuyo valor es el número de azules que elegimos. ¿Cuál es el valor esperado $E(X)$ de $X$ ?

La página de respuestas del libro de texto dice $\frac{30}{11}$ pero no tengo ni idea de cómo terminó con esa respuesta a pesar de entender el concepto básico de valor esperado ¿alguna ayuda?

Answer 1

Desde $X\sim \mathrm{Bin}(n=12,p=\dfrac{5}{22})$ Entonces, debe encontrar $$\sum\limits_{x=1}^{12}x{12\choose x}\left(\dfrac{5}{22}\right)^x\left(\dfrac{17}{22}\right)^{12-x}$$ Por suerte, ya que es bien sabido que $E(X)=np$ , para $X\sim\mathrm{Binomial}$ entonces eso es todo lo que necesitas para calcular

Answer 2

El valor esperado de un solo ensayo es el siguiente, donde $P$ es la probabilidad de un evento y $V$ es el valor.

$$E(\text{1 trial}) = P(\text{blue})V\text({blue}) + P(\text{red})V\text({red})$$

Ya que sólo te importan las bolas azules, $V\text({blue}) = 1$ y $V\text({red}) = 0$ .

Al dejarlo en el frasco, los ensayos son independientes y el valor esperado de cada ensayo es el mismo. Así que sólo tienes que multiplicar por el número de ensayos para obtener el valor esperado de todos ellos.