Utilizaré $\mathbf{F}_p$ para denotar el campo de $p$ (lo que se denota como $\mathbb{Z}_p$ ), $\mathbf{F}_{p^k}$ para denotar el campo de $p^k$ elementos, y $\mathbf{F}$ para el cierre algebraico de $\mathbf{F}_p$ (lo que el OP llama $F$ ).
Tu trabajo en (i) es muy tosco (y en cierto punto ininteligible). Por ejemplo, escribes " $\gcd(f,f')$ (es decir, los polinomios son separables)". Es decir, a primera vista sin sentido. (¿Olvidaste decir qué el máximo común divisor era igual a ). Además, sólo se trata de ciertos tipos de polinomios. Por último, no has dicho qué vas a hacer con $S$ se quedó ahí colgado.
Es de suponer que usted estaba tratando de decir: "tomar $S$ para ser el conjunto de todos los polinomios de la forma $x^{p^n}-x$ con $n$ un número entero positivo. Estos polinomios son separables, y $F$ es el campo de división de $S$ . Así, $F$ es Galois sobre $\mathbf{F}_p$ ya que es el campo de división de un conjunto de polinomios separables". Eso está bien hasta donde llega, pero ¿cómo sabes que $\mathbf{F}$ es el campo de división de $S$ ? Está claro que el campo de división de $S$ está contenida en $\mathbf{F}$ pero no has aportado ningún argumento (o el fantasma de uno) para demostrar que cada elemento de $\mathbf{F}$ debe estar en el campo de división de $S$ .
Para ello, hay que argumentar que dado cualquier $a\in\mathbf{F}$ , usted sabe que $[\mathbf{F}_p(a):\mathbf{F}]$ es finito (¿por qué?), por lo que $\mathbf{F}_p(a) = \mathbf{F}_{p^k}$ para algunos $k$ (¿por qué?), y así $a$ es una raíz de $x^{p^k}-x$ (¿por qué?), de ahí que $a$ está en el campo de división de $S$ . De este modo se establecerá (i) correctamente.
Para (ii), demostrar que $u\mapsto u^p$ es efectivamente un automorfismo es sencillo. Para demostrar que no es la identidad... Piensa en $\mathbf{F}_{p^2}$ . ¿Qué sabes de su subgrupo multiplicativo? ¿Puede la exponenciación por $p$ sea el mapa de identidad en todos esos elementos? ¿Están en $\mathbf{F}$ ?
Para (iii): se trata de demostrar que en el caso de la extensión infinita, la correspondencia entre los subgrupos del grupo de Galois y los subcampos de la extensión ya no es válida. Se le pide que demuestre que hay más de un subgrupo cuyo campo fijo es precisamente el campo terreno (si se piensa en el caso de Galois finito, que nunca ocurre). Explícitamente, se le pide que demuestre dos cosas: que el campo fijo del subgrupo generado por $\alpha$ es precisamente el campo de tierra; y que el subgrupo generado por $\alpha$ es no todo el grupo de Galois. Esto demostrará que hay al menos dos subgrupos distintos (ambos $H$ y todos los $\mathrm{Aut}(\mathbf{F}/\mathbf{F}_p)$ ) que tienen el mismo campo fijo, lo que demuestra que la correspondencia que conoces del caso de la extensión finita ya no es válida aquí.
La primera parte debería ser fácil si has conseguido entender la parte (ii). En primer lugar, elija $a\in \mathbf{F}$ , $a\notin \mathbf{F}_p$ . Intenta pensar en $\mathbf{F}(a)$ y combinando las ideas de (i) y (ii), utilizarlas para demostrar que $\alpha(a)\neq a$ para que el campo fijo de $\alpha$ está contenida en $\mathbf{F}_p$ .
Lo más complicado es demostrar que las potencias de $\alpha$ son no los únicos automorfismos del cierre algebraico.
Añadido. Exponer un elemento explícito del grupo de Galois que no sea una potencia de $\alpha$ es bastante sencillo si se sabe lo que ocurre entre bastidores, pero probablemente sería un reto al hacer este problema, ya que me parece que el objetivo del problema es mostrar que hay algo que se está llevando a cabo entre bastidores.
Se puede demostrar que el grupo de automorfismo no es cíclico exhibiendo dos elementos de orden infinito tales que los subgrupos que generan se intersecan trivialmente. Una posibilidad: para primos distintos $q$ y $\ell$ , considere las dos torres \begin{align*} &\mathbf{F}_p \subseteq \mathbf{F}_{p^q}\subseteq \mathbf{F}_{p^{q^2}}\subseteq\cdots\\ &\mathbf{F}_p \subseteq \mathbf{F}_{p^{\ell}} \subseteq \mathbf{F}_{p^{\ell^2}}\subseteq\cdots \end{align*} Las dos torres son dijsoint: ya que $\mathbf{F}_{p^n}\subseteq \mathbf{F}_{p^m}$ si y sólo si $n|m$ cualquier campo de una torre se cruza con cualquier campo de la otra torre justo en $\mathbf{F}_p$ .
Utilice las propiedades habituales de la extensión de los isomorfismos para demostrar que existe un elemento en $\mathrm{Aut}(\mathbf{F}/\mathbf{F}_p)$ que actúa como $\alpha$ en la primera torre, pero como la identidad en la segunda torre. Entonces demuestre que hay un elemento en $\mathrm{Aut}(\mathbf{F}/\mathbf{F}_p)$ que actúa como $\alpha$ en la segunda torre y como la identidad en la primera torre. Llama a estos $\beta_1$ y $\beta_2$ . Ahora bien, tenga en cuenta que $\langle\beta_1\rangle\cap\langle\beta_2\rangle = \{1\}$ . Pero si $\mathrm{Aut}(\mathbf{F}/\mathbf{F}_p) = \langle\alpha\rangle$ entonces dos subgrupos no triviales cualesquiera tienen una intersección no trivial.
Añadido. Estoy realmente perdido al tratar de darte lo suficiente sin estropear del todo el problema; basándome en la confusión que este problema (no trivial) ha engendrado, supongo que todavía eres muy principiante con los grupos de Galois en general y los campos finitos en particular...
Otra cosa que puedes hacer: como $\alpha$ tiene un orden infinito, bastaría con exhibir un elemento de $\mathrm{Aut}(\mathbf{F}/\mathbf{F}_p)$ que tiene finito orden. Una vez más, se puede intentar hacer esto utilizando las propiedades de extensión de los automorfismos.
