Soluciones de choque de la ecuación de Burgers

Question

Así que lo que me confunde es cómo se hace para encontrar ondas de choque. Supongamos que nos dan el problema de Cauchy para la ecuación de Burgers $u_t + uu_x = 0$ con $u(x, 0) = 1$ para $x \le 0$ y $u(x, 0) = 0$ para $x> 0$ . Entonces, utilizando el método de las características obtenemos $x = x_0 + t$ para $x \le 0$ y $x = x_0$ para $x > 0$ . ¿Cómo procedemos entonces, dado que las líneas características se intersecan, por lo que no hay un único $x_0$ tal que $(x, t)$ están en una sola línea característica?

Answer 1

Este es un esquema de las curvas características en el $x$ - $t$ plano, cuya ecuación viene dada por $$ \begin{aligned} x'(t) &= u(x(t),t) \\ &= u(x(0),0) \end{aligned} $$ Esas curvas se cruzan ya en el momento cero:

Así, surge una onda de choque.

La ecuación de Burgers se reescribe en la forma conservadora $u_t + f(u)_x = 0$ , donde $f(u) = \frac{1}{2}u^2$ . La onda de choque con velocidad $s$ , estado de la izquierda $u_L = 1$ y el estado de derecho $u_R = 0$ escribe $$ u(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &1 &&\text{if}\quad x<st \\ &0 &&\text{if}\quad st<x \, . \end{aligned} \right. $$ La velocidad de choque debe satisfacer la condición Rankine-Hugoniot $s = \frac{f(u_R) - f(u_L)}{u_R - u_L}$ es decir $s = \frac{1}{2}$ . Este es un esquema modificado de la $x$ - $t$ plano, lo que explica el choque:

Answer 2

Siga el método de http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_characteristics#Example :

$\dfrac{dt}{ds}=1$ , dejando que $t(0)=0$ tenemos $t=s$

$\dfrac{du}{ds}=0$ , dejando que $u(0)=u_0$ tenemos $u=u_0$

$\dfrac{dx}{ds}=u=u_0$ , dejando que $x(0)=f(u_0)$ tenemos $x=u_0s+f(u_0)=ut+f(u)$ es decir $u=F(x-ut)$

$u(x,0)=\begin{cases}1&\text{when}~x\leq0\\0&\text{when}~x>0\end{cases}$ :

$\therefore u=\begin{cases}1&\text{when}~x-ut\leq0\\0&\text{when}~x-ut>0\end{cases}=\begin{cases}1&\text{when}~x-t\leq0\\0&\text{when}~x>0\end{cases}=\begin{cases}1&\text{when}~x\leq t\\0&\text{when}~x>0\end{cases}$

Por lo tanto, $u(x,t)=\begin{cases}1&\text{when}~x\leq t\\0&\text{when}~x>0\\c&\text{otherwise}\end{cases}$