Entender el teorema central del límite

Question

¿Qué hay de malo en la siguiente frase?

El teorema del límite central implica que, a medida que aumenta el tamaño de la muestra, la distribución de errores se aproxima a la normalidad.

¿Estoy en lo cierto al afirmar que, en cambio, la MEDIA del error muestral se aproxima a cero a medida que aumenta el tamaño de la muestra?

Answer 1

En su forma más simple, el Teorema Central del Límite (CLT) es una afirmación sobre la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria $$Z_n = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n -n\mu}{\sigma \sqrt{n}}$$ donde el $X_i$ son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media $\mu$ y la desviación estándar $\sigma$ . El CLT afirma que para cada $a$ , $-\infty < a < \infty$ , $$F_{Z_n}(a) = P\left\{\frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n -n\mu}{\sigma \sqrt{n}} \leq a \right\} \to \Phi(a) = \int_{-\infty}^a \frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\mathrm dx$$ como $n \to \infty$ .

Si por "distribución de errores" se refiere a la función de distribución de $$Y_n = \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i\right) -\mu = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_n,$$ es decir, la diferencia de la media muestral $\bar{X} = n^{-1}\sum_iX_i$ y la media de la población $\mu$ entonces el CLT ciertamente no implican que $F_{Y_n}(\cdot)$ "se acerca a la normalidad" a medida que el tamaño de la muestra $n$ se hace grande en el sentido habitual de normalidad, aunque los quisquillosos pueden afirmar que la se aproxima a una distribución normal con media $0$ y desviación estándar $0$ (a menudo llamado constante por los estadísticos analfabetos).

Por otro lado, el media del error de la muestra es no una aleatoria sino una constante (de hecho, $0$ ya que la media de la muestra es un imparcialidad estimador de la media de la población) y no necesita acercarse a $0$ ya está ahí. Creo que lo que querías decir es que el distribución $F_{Y_n}(a)$ de la error de muestreo se acerca a la unidad función de paso: $$F_{Y_n}(a) \to u(a) = \begin{cases}1, & \text{if}~a > 0,\\ 0 &\text{if}~a < 0,\end{cases}$$ lo cual es ciertamente correcto, y se deduce del CLT, pero también se deduce de resultados como la ley débil de los grandes números que no hace ninguna afirmación sobre la distribución de $Z_n$ , sólo alrededor de $Y_n$ .