¿Cuál es la intersección de todos los espacios de Sobolev de funciones cuadradas integrables?

Question

Dejemos que $U \subset \mathbb{R}^n$ . Si

$$H^k=\{f: U \rightarrow \mathbb{R}: D^\alpha f \in L^2(U)\ \forall \alpha \in \mathbb{N}^n \ \text{with} \ \vert \alpha \vert \leq k \}$$

Entonces, ¿cómo puedo demostrar que

$$\cap _{k \geq 2} H^k \subset C^\infty (U)$$

¿Existe una aproximación dircet que no pase por la desigualdad de Morrey y la de Gagliardo-Nirenberg-Sobolev?

Answer 1

Sí, pero hay que definir los espacios de Hilbert-Sobolev $H^s(\mathbb{R}^n)$ con $s \in \mathbb{R}$ y esto es un corolario del teorema de inclusión continua de Sobolev, que puedes ver aquí:

Si $u \in H^s(\mathbb{R}^n)$ para $s > n/2$ entonces $u \in L^\infty(\mathbb{R}^n)$ ?

y $\bigcap_{s \in \mathbb{R}} H^s(\mathbb{R}^n) \subset C^k(\mathbb{R}^n)$ . En particular, si $s=m \in \mathbb{N}$ entonces $H^s(\mathbb{R}^n)=H^m(\mathbb{R}^n)$ con normas equivalentes, y se puede demostrar que, si $m-k > n/2$ entonces $H^m(\Omega) \hookrightarrow C^k(\Omega)$ y también $\bigcap_{m \in \mathbb{N}} H^m(\Omega) \subset C^k(\Omega)$ con $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ abierto.