¿Es cierto lo siguiente?
La unión de conjuntos disjuntos conectados por caminos no está conectada por caminos.
Respuesta
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skyking
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Hay que exigir que los conjuntos sean abiertos y no vacíos para que la afirmación sea interesante (de lo contrario, podríamos tomar un conjunto conectado por el camino y dividirlo y refutar la afirmación).
Suponiendo que eso hace que la afirmación sea equivalente a si la conectividad de los caminos implica la conectividad de los conjuntos abiertos, y sí, eso es cierto.
Supongamos que un conjunto abierto está conectado por un camino y supongamos que podemos descomponerlo como la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos $\Omega_1$ y $\Omega_2$ . Entonces podemos seleccionar dos puntos $x_1\in\Omega_1$ y $x_2\in\Omega_2$ (ya que no están vacías).
Consideremos ahora un camino $\gamma$ de $x_1$ a $x_2$ que es una función continua de $[0,1]$ al conjunto y $\gamma(0)=x_1$ y $\gamma(1)=x_2$ . Ahora consideramos $t=\sup_{\gamma(\tau)\in\Omega_1}\tau$ . Ahora para un barrio $V$ de $\gamma(\tau)$ debe haber una vecindad de $\tau$ tal que $\gamma(t)\in V$ en ese barrio. Pero como cualquier barrio de $\tau$ contiene puntos que se asignan a ambos $\Omega_1$ y $\Omega_2$ tenemos una contradicción.
