¿Necesito integrarme?

Question

Suponga que no conoce una expresión algebraica para la función $g$ pero sabes que $g(3)=5$ y que $g'(x)=\frac{1}{x^2+16}$ ; $\forall x \in \mathbb{R}$ . Utilice la aproximación lineal para estimar los valores de $g(2.96)$ y de $g(3.05)$ .

La única solución que veo es calcular la antiderivada en otras palabras su integral y calcular la aproximación lineal con ese resultado, pero el curso que estoy tomando es de cálculo diferencial y el profesor no ha mencionado las derivadas más de 3 veces en todo el semestre. Hay otra forma de resolver el problema o otra forma de calcular $g(x)$

Answer 1

Del teorema de Taylor $$g(x+\delta x)\approx g(x)+\delta x\cdot g'(x)$$ Esto se puede aplicar a su ejemplo con $\delta x=-0.04, 0.05$ , $x=3$ .

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Además, como nota, su integral no es realmente demasiado difícil de calcular - es $$g(x)=k+\frac14\arctan\frac x4.$$ Sin embargo, este no es el método previsto en la pregunta, debido a que la redacción incluye la palabra Aproximadamente .