Propiedad límite de la derivada de una función monótona acotada

Question

Intento demostrar lo siguiente o encontrar un contraejemplo. Supongamos una función $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ es acotado, creciente y continuamente diferenciable. Entonces $\lim_{x\rightarrow \infty}xf'(x)=0$ .

Hasta ahora, he demostrado que $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} xf'(x)= 0$ : Supongamos que $\lim \inf_{x\rightarrow \infty }xf'(x)>0$ . Entonces existe un $\delta>0$ y $\epsilon >0$ de manera que cuando $x>\delta$ , $x f'(x)>\epsilon$ . Entonces para $x>\delta$ , $f'(x)>\epsilon /x$ . La antiderivada de $\epsilon /x$ es $\epsilon \ln x$ que converge a $\infty $ como $x\rightarrow \infty$ . Esto contradice la acotación de $f$ . Por lo tanto, $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} xf'(x)\leq 0$ . Desde $f$ está aumentando, debe ser que $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} xf'(x) \geq 0$ . Combinando estas condiciones se obtiene $\lim\inf_{x\rightarrow \infty} xf'(x)= 0$ .

También de $f$ creciente, sabemos que $\lim\sup_{x\rightarrow \infty} xf'(x) \geq 0$ . Así que queda por demostrar que $\lim\sup_{x\rightarrow \infty} xf'(x) = 0$ .

Answer 1

Contraejemplo: Dejemos que $g(x)=n$ para $n \leq x \leq n+\frac 1 {n2^{n}},g(x)=0$ para $x >n+\frac 2 {n2^{n}}$ y $0$ para $x <n-\frac 1 {n2^{n}}$ con un gráfico de línea recta entre $n$ y $n+\frac 2 {n2^{n}}$ así como entre $n-\frac 1 {n2^{n}}$ y $n$ (para cada $n$ ). Sea $f(x)=\int_0^{x}g(t)dt$ . Se puede comprobar fácilmente que se trata de un contraejemplo. (De hecho $f'(n)\to \infty$ ).