¿Es la curva de la función de Weierstrass homeomorfa a la recta real?

Question

Me resulta intuitivo suponer que para cualquier función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ que se define para todos los números reales, su curva se traza en $\mathbb{R}^2$ es homeomorfo a $\mathbb{R}$ . Pero entonces se me ocurrió que la "arclitud" entre dos puntos cualesquiera de la curva de la función de Weierstrass es probablemente infinita del mismo modo que lo es en la curva de Koch, y no tiene sentido intuitivo que un espacio métrico (si es que puede clasificarse como tal) como éste sea homeomorfo a la línea real.

Answer 1

En efecto, son homeomórficos: la proyección sobre el $x$ es un homeomorfismo de la gráfica de la función de Weierstrass a la recta, y de hecho esto es cierto para cualquier función continua $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ .

Tenga en cuenta que arclength es no la única manera de definir una métrica en esta curva (y de hecho, no define una métrica, ya que siempre es infinita entre dos puntos distintos). Pero esto no importa. El hecho de que haya algún candidato natural para definir una métrica en un determinado espacio que en realidad no lo hace, no significa que haya no manera de definir una métrica.