Cómo demostrar que det( $A^{T}A$ ) no es negativo?

Question

¿Por qué el determinante del producto de una matriz por su transposición es no negativo?

Answer 1

Supongo que $A$ es real.

$A^TA$ es simétrica, por lo que es diagonalizable (ortogonalmente). Así que su determinante es el producto de sus valores propios. Sea $\lambda$ sea un valor propio de $\vec{v}$ , donde $\vec{v}$ es un vector propio de $A^TA$ .

Utilizando la notación del producto interno: $$0\le\langle A\vec{v},A\vec{v}\rangle=(A\vec{v})^T(A\vec{v})=\vec{v}^TA^TA\vec{v}=\vec{v}^T\lambda\vec{v}=\lambda\langle\vec{v},\vec{v}\rangle$$

Esto implica que $\lambda$ es no negativo, ya que $\langle\vec{v},\vec{v}\rangle>0$ . Así que el determinante es un producto de números reales no negativos, y por tanto un número real no negativo. Nótese que esto muestra algo mucho más específico sobre $A^TA$ que simplemente tener un determinante positivo.

(Si prefieres la notación del producto punto: $$0\le( A\vec{v})\cdot(A\vec{v})=(A\vec{v})^T(A\vec{v})=\vec{v}^TA^TA\vec{v}=\vec{v}^T\lambda\vec{v}=\lambda\vec{v}\cdot\vec{v}$$ )

Answer 2

Suponiendo que $A$ es cuadrado, (por lo tanto $\det (A)$ se define):

Recall $$\det(A) = \det(A^T)$$ $$\det(A^TA) = \det(A^T)\det(A)$$

¿Qué implica esto sobre $\det(A^TA)$ si

• Si $\det A > 0?$
• Si $\det A < 0$ ?
• Si $\det A = 0$ ?