Demuestre que el siguiente es un functor contravariante

Question

Así que básicamente tengo lo siguiente. Que $OP(-):\textbf{Top}\rightarrow \textbf{Cat}$ sea dada por $X\mapsto OP(X)$ donde $OP(X)$ se define como la categoría cuyos objetos son subconjuntos abiertos $U$ de $X$ y cuyos morfismos se definen como $Mor(U,V)=\{incl_{VU}\}$ si $U\subset V$ y $\emptyset$ de lo contrario.

El problema es pedir que se demuestre que $OP(-)$ es un functor contravariante. He demostrado que efectivamente $OP(X)$ es una categoría pequeña, así que todo lo que necesito demostrar es que si $f$ es una función continua de un espacio topológico $X$ a $Y$ entonces $OP(f)$ debe ser un morfismo (que en $\textbf{Cat}$ es un functor) de $OP(Y)$ a $OP(X)$ . El problema es que el problema no especifica qué $OP(-)$ a los morfismos de $\textbf{Top}$ . No sé si hay una forma natural de definir lo que $OP(-)$ hace a las flechas de $\textbf{Top}$ . Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias.

Answer 1

Una pista: Por definición, $f\colon X\to Y$ es continua si para todo conjunto abierto $U\subseteq Y$ el conjunto $f^{-1}(U)\subseteq X$ está abierto.