Problema con respecto a la suma infinita de restos.

Question

Antes de aquí @mat.SE había una pregunta sobre un problema en una revista de matemáticas. Decidí mirar el enlace proporcionado, y uno de los problemas propuestos era (si no estoy recordando mal):

Encuentra $$\sum\limits_{n = 0}^\infty {{{\left( { - 1} \right)}^n}\left[ {f\left( x \right) - {T_n}\left( x \right)} \right]} $$

Estoy bastante seguro de que era de la MMA.

¿Es esta la formulación correcta del problema? Si es así, ¿alguna pista sobre cómo resolverlo? Estoy pensando en usar la forma integral del resto, pero como realmente no sé cuál era el problema, no puedo avanzar.

Answer 1

Suponiendo que $f(x) = \sum_{k=0}^\infty c_k x^k$ es una función analítica y $T_n(x) = \sum_{k=0}^n c_k x^k$ es el polinomio de Maclaurin de grado $n$, y $|x|$ es menor que el radio de convergencia, tenemos una cota $|c_k x^k| < A r^k$ dónde $r < 1$. Entonces la serie converge absolutamente. Ahora $c_k x^k$ ocurre en $(-1)^n (f(x) - T_n(x))$ con el coeficiente $(-1)^n$ si y solo si $k > n$. Dado que $\sum_{n=0}^{k-1} (-1)^n = 1$ si $k$ es impar y $0$ si $k$ es par, la respuesta es $\sum_{k\ \text{impar}} c_k x^k = (f(x) - f(-x))/2$.

Answer 2

Suponiendo que $$ T_n(x)=\sum_{k=0}^nf^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}\tag{1} $$ Entonces, para $x$ dentro del radio de convergencia de $f(x)$ alrededor de $x=0$, $$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n[f\left(x\right)-T_n(x)] &=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\sum_{k=n+1}^\infty f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\sum_{n=0}^{k-1}(-1)^n f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}\\ &=\sum_{k=1}^\infty\frac{1-(-1)^k}{2}f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}\\ &=\frac12\left(\sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(0)\frac{x^k}{k!}-f^{(k)}(0)\frac{(-x)^k}{k!}\right)\\ &=\frac{f(x)-f(-x)}{2}\tag{2} \end{align} $$ que es la parte impar de $f$.

---

Ante una pregunta de Peter Tamaroff, consideremos qué sucedería si la serie de Taylor se tomara alrededor de $x=a$. Siguiendo la misma lógica que arriba obtendríamos $$ \begin{align} \sum_{n=0}^\infty(-1)^n[f\left(x\right)-T_n(x)] &=\frac12\left(\sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}-f^{(k)}(a)\frac{(a-x)^k}{k!}\right)\\ &=\frac12\left(\sum_{k=0}^\infty f^{(k)}(a)\frac{(x-a)^k}{k!}-f^{(k)}(a)\frac{((2a-x)-a)^k}{k!}\right)\\ &=\frac{f(x)-f(2a-x)}{2}\tag{3} \end{align} $$