Resolver $2x^4 + 7x^3 -34x^2 -21x + 18 = 0$

Question

Resolver $2x^4 + 7x^3 -34x^2 -21x + 18 = 0$ sobre los números reales.

Conozco las respuestas finales pero quiero una forma lógica de resolverlo. Debo añadir que no puedes usar la derivación u otras fórmulas avanzadas. Puedes usar formas como multiplicar dos lados o usar fórmulas cuadráticas y esas formas. También puedes usar métodos simples de factorización o cambiar la variable, pero no cálculo avanzado o fórmulas diferenciales.

Quiero saber una forma clara de solucionarlo. Por ejemplo, si lo multiplicas por un número o variable, di la razón para hacerlo y cómo has encontrado el número (o polinomio) adecuado.

Gracias y perdón por mi inglés.

Answer 1

Para los polinomios de mayor grado, recomiendo comprobar primero con el teorema de las raíces racionales.

Es muy sencillo, toma el primer coeficiente $(2)$ y el último coeficiente $(18)$ y factorizarlos:

$$2=1\times2$$

$$18=1\times2\times3^2$$

Así, todas las raíces racionales reales son de la forma

$$r=\pm\frac{\{1,2,3,6,9,18\}}{\{1,2\}}$$

Por lo tanto, corremos a través y la prueba:

$$r\ne+1\\\boxed{r=-1}\\\boxed{r=+\frac12}\\r\ne-\frac12\\r\ne+2\\r\ne-2\\\boxed{r=+3}\\r\ne-3\\r\ne+\frac32\\r\ne-\frac32\\r\ne+6\\\boxed{r=-6}$$

Y mira, ¡tenemos las cuatro raíces! Así que podemos volver a ponerlo en forma factorizada:

$$2x^4+7x^3-34x^2-21x+18=2(r+1)(r-\frac12)(r-3)(r+6)$$