Hacer todo exacto $1 \to A \to A \times B \to B \to 1$ ¿división para grupos finitos?

Question

Dejemos que $A$ , $B$ sean grupos finitos. ¿Es cierto que todas las secuencias exactas cortas $1 \rightarrow A \rightarrow A \times B \rightarrow B \rightarrow 1$ ¿división a la derecha?

En otras palabras, ¿existen grupos finitos $A$ , $B$ y los homomorfismos $f: A \rightarrow A \times B$ , $g: A \times B \rightarrow B$ tal que $1 \rightarrow A \rightarrow A \times B \rightarrow B \rightarrow 1$ es exacta y no existe un homomorfismo $h: B \rightarrow A \times B$ tal que $g \circ h = \text{id}_B$ ?

Un ejemplo cuando $A$ , $B$ no son finitos viene dado por $A = \prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}$ , $B = \prod_{i=1}^\infty \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ , $f((n_i)) = ((2n_i),0)$ y $g((n_i),(m_i)) = (\overline{n_1}, m_1, \overline{n_2}, m_2, \ldots)$ .

Answer 1

Esto es verdadero (1). Se extendió a grupos profinitos finitamente generados aquí (2). Sorprendentemente, es también es cierto en la categoría de módulos finitamente generados sobre un anillo conmutativo noetheriano (3).

(1) Joseph Ayoub, The direct extension theorem, J. Group Theory 9 (2006) 307-316 .

(2) Goldstein, Daniel, Guralnick, Robert El teorema del producto directo para grupos profinitos. J. Group Theory 9 (2006), no. 3, 317-322.

(3) Takehiko Miyata Nota sobre los sumandos directos de los módulos. J. Math. Kyoto Univ. Volumen 7, Número 1 (1967), 65-69.