Este reciente MO pregunta , respondido ahora varias veces, preguntó si un grupo grupo infinito puede contener todo grupo finito como subgrupo. La respuesta es afirmativa por diversos medios.
Así que subamos la apuesta: ¿Existe un grupo contable que contenga (una copia de) cada grupo contable como subgrupo?
El gráfico aleatorio contable, después de todo, que inspiró el pregunta original, contiene copias de todos los grafos contables, no sólo de todos los grafos finitos. ¿Es esto posible con los grupos? Lo que parece necesario es un grupo contable altamente saturado.
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Un requisito más sencillo sería insistir en que el grupo contenga simplemente todos los grupos finitamente generados como subgrupos, o simplemente todos los grupos abelianos contables. (La reducción a una familia contable, sin embargo, trivializa la cuestión a través de la suma directa).
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Un requisito más difícil sería encontrar los subgrupos de formas especialmente agradables: como sumandos directos o como subgrupos normales.
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Otro requisito reforzado sería insistir en una propiedad de amalgama: siempre que $H_0\lt H_1$ son generados finitamente, entonces cada copia de $H_0$ en el grupo universal $G$ se extiende a una copia de $H_1$ en $G$ . Esta propiedad implica que $G$ es universal para todos los grupos contables, añadiendo un generador a la vez. Esto generalizaría el propiedad de saturación del grafo aleatorio.
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Si existe un grupo universal contable, ¿se puede encontrar un grupo finitamente generado, o un grupo finitamente presentado de presentación finita? (Esto perdería la amalgama, por supuesto).
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Moviéndose más alto, por lo que los cardenales $\kappa$ ¿existe un grupo universal de tamaño $\kappa$ ? Es decir, ¿cuándo hay un grupo de tamaño $\kappa$ que contiene como subgrupo una copia de cada grupo de tamaño $\kappa$ ?
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Bajando, ¿cuál es el tamaño mínimo de un grupo finito que contiene todos los grupos de tamaño finito a lo sumo $n$ como subgrupos? Claramente, $n!$ es suficiente. ¿Se puede hacer algo mejor?
