Problema de desigualdad $\frac 1x + \frac 1y + \frac 1z > 5$ probar

Question

Pruébalo:

$$\frac 1x + \frac 1y + \frac 1z > 5$$

donde $x+y+z=1$ , $x, y, z$ son números reales no iguales $0$ y $x\neq y \neq z $

Answer 1

Usted tiene $$ (x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right) \geq 9$$ Para ver esto sólo hay que desarrollar todo y utilizar $a/b+b/a \geq 2$ . Otra variante es utilizar Cauchy Schwarz.

Ahora bien, si $x+y+z = 1$ se deduce que $1/x+1/y+1/z \geq 9$ .

Answer 2

Dada la cota débil, he aquí una forma más sencilla: la menor de las tres variables debe ser menor que $\frac13$ por razones obvias, y los otros dos son menos que $1$ ya que todas las variables son positivas. Por lo tanto, los recíprocos suman más de $3+1+1=5$ .

Answer 3

Nota: Esta respuesta algo larga contiene varias pruebas de la desigualdad. Voy a dejar las cosas en el orden en que se acumularon, pero recomiendo saltar a la sección en negrita "añadido más tarde" para las pruebas más sencillas. También recomiendo encarecidamente Respuesta de Macavity como el más sencillo de todos.

Utilizando AGM dos veces, tenemos

$${1\over x}+{1\over y}+{1\over z}\ge3\sqrt[3]{1\over xyz}={3\over\sqrt[3]{xyz}}\ge{3\over\left(x+y+z\over3\right)}={9\over x+y+z}=9\gt5$$

Añadido más tarde : Aquí hay una segunda prueba, completamente diferente, que obtiene la desigualdad solicitada (con un $5$ ) sin conseguir la desigualdad más fuerte con un $9$ .

El requisito de que $x+y+z=1$ con $x,y,z\gt0$ significa que $(\sqrt x,\sqrt y,\sqrt z)$ se encuentra en la esfera unitaria.. Esto significa que podemos parametrizar las variables, utilizando coordenadas esféricas, como

$$\begin{align} x&=\sin^2\theta\cos^2\phi\\ y&=\sin^2\theta\sin^2\phi\\ z&=\cos^2\theta \end{align}$$

Entonces

$$\begin{align} {1\over x}+{1\over y}+{1\over z} &={1\over\sin^2\theta\cos^2\phi}+{1\over\sin^2\theta\sin^2\phi}+{1\over\cos^2\theta}\\ &={\sin^2\phi+\cos^2\phi\over\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\phi}+{1\over\cos^2\theta}\\ &={1\over\sin^2\theta\sin^2\phi\cos^2\phi}+{1\over\cos^2\theta}\\ &={4\over\sin^2\theta(2\sin\phi\cos\phi)^2}+{1\over\cos^2\theta}\\ &={4\over\sin^2\theta\sin^22\phi}+{1\over\cos^2\theta}\\ &\ge4+1\\ &=5 \end{align}$$

Añadido más tarde : He aquí una tercera prueba bastante sencilla.

Las condiciones de $x$ , $y$ y $z$ implica $0\lt x,y,z\lt1$ por lo que podemos escribir $x=1-u$ , $y=1-v$ y $z=1-w$ con $0\lt u,v,w\lt1$ . La ecuación $x+y+z=1$ se traduce en $u+v+w=2$ . Así,

$$\begin{align} {1\over x}+{1\over y}+{1\over z} &={1\over1-u}+{1\over1-v}+{1\over1-w}\\ &=(1+u+u^2+\cdots)+(1+v+v^2+\cdots)+(1+w+w^2+\cdots)\\ &\gt(1+u)+(1+v)+(1+w)\\ &=3+(u+v+w)\\ &=5 \end{align}$$

Observaciones: Si se incluye la prueba extremadamente sencilla de Macavity, ahora tenemos tres pruebas de la desigualdad solicitada que no dan nada más fuerte sin trabajo adicional. Vale la pena señalar que el enfoque de Macavity puede ser reforzado por $1$ con un pequeño giro: si pedimos $0\lt x\le y\le z\lt1$ entonces $x+y+z=1$ implica $x\le{1\over3}$ y $y\le{1\over2}$ , lo que da

$${1\over x}+{1\over y}+{1\over z}\gt3+2+1=6$$

Podría ser entretenido ver si hay alguna aproximación que naturalmente (sea lo que sea que signifique "naturalmente") dé la desigualdad con un $7$ pero no un $8$ o un $8$ pero no el $9$ . Actualización : Macavity ha dado pruebas que hacen esto en los comentarios de abajo.

Answer 4

Incluso podemos demostrar que

$$ \frac 1x + \frac 1y + \frac 1z \ge 9\;. $$

Consideremos la intersección del dominio con el cubo $\left[\frac19,\frac89\right]^3$ . Se trata de un conjunto compacto en cuya frontera el lado izquierdo es claramente $\ge9$ . El lado izquierdo alcanza su mínimo en este conjunto compacto, ya sea en la frontera o en un punto estacionario en el interior. Utilizando un multiplicador de Lagrange, encontramos como condición para los puntos estacionarios

$$ \frac1{x^2}=\frac1{y^2}=\frac1{z^2}=\lambda $$

y por lo tanto $x=y=z=\frac13$ . Por lo tanto, el mínimo es $9$ .

Answer 5

La desigualdad que ha dado joriki tiene una forma general, por si querías saberlo : $$ \sum_{i=1}^n \frac {a_i^2}{b_i}\ge \frac{(\sum_{i=1}^n a_i)^2}{\sum_{i=1}^n b_i} $$ con $n$ siendo un número entero y $\{a_1;a_2;...:a_n\}$ y $\{b_1;b_2;...:b_n\} $ siendo números reales positivos. La desigualdad se puede demostrar por inducción.