Incrustación de un álgebra racional de cuaterniones de Hamilton en $M(2,\mathbb{R})$

Question

Sabíamos que hay algunas incrustaciones como $\mathbb{Q}$ -de las álgebras de $H=\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb{Q}, i^2=j^2=-1,k=ij=-ji\}$ en $M_2(\mathbb{C})$ por ejemplo: $a+bi+cj+dk \mapsto \begin{bmatrix} a+bi&c+id\\-c+id&a-ib \end{bmatrix}$

Mi pregunta: ¿Existe una incrustación en $M(2,\mathbb{R})$ ?

Answer 1

Por razones de dimensión, tal incrustación sería una biyección, y por tanto un isomorfismo. Pero $H$ y $M(2,\Bbb R)$ no son isomorfas: esta última tiene divisores cero.

Hay una incrustación en $M(4,\Bbb R)$ .

AÑADIDO EN EDICIÓN

Veo que la pregunta ha sido editada para hacerla sobre el cuaternión álgebra sobre $\Bbb Q$ no más $\Bbb R$ .

En realidad, esto no supone ninguna diferencia. Los homomorfismos de su nuevo $H$ a un determinado $\Bbb R$ -Álgebra $A$ corresponden a la $\Bbb R$ -álgebra homomorfismos de $H\otimes_{\Bbb Q}\Bbb R$ a $A$ . Por supuesto $H\otimes_{\Bbb Q}\Bbb R$ es el hamiltoniano clásico de los cuaterniones $\Bbb H$ .

Answer 2

Permítanme intentar una breve prueba de la inexistencia de una incrustación de $H$ (incluso sobre $\mathbb Z$ ) en $M_2(\mathbb R)$ . Si existe tal incrustación, entonces su restricción al grupo de cuaterniones $Q_8$ es una representación fiel del grupo. La verdadera representación fiel de $Q_8$ es conocido por tener un grado mínimo 4, no 2. Usted puede encontrar fácilmente este argumento en Internet.