Cómo probar $|a-b|^p\leq \max(1,2^{p-1})(|a|^p+|b|^P)$ ?

Question

Estoy atascado con esta pregunta: ¿Cómo probar $|a-b|^p\leq \max(1,2^{p-1})(|a|^p+|b|^p)$

Me olvidé de decir que a ,b son ambos números complejos

Answer 1

$p \geq 1$ se aborda aquí . Para $p < 1$ y asumiendo que $a \geq b$ , set $t = a/b>1$ . Entonces queremos demostrar que $$(t+1)^p \leq t^p + 1$$ $$f(t) = t^p + 1 - (t+1)^p \implies f'(t) = p\left(t^{p-1} - (t+1)^{p-1} \right) > 0$$ Por lo tanto, obtenemos que $$t^p + 1 - (t+1)^p \geq f(0) = 0$$ Esto lo demuestra para $p < 1$ .

Answer 2

Sugerencia: Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a > b$ y que $c = a - b$ y utilizar el teorema del binomio.