¿Cómo puedo calcular si una estantería es lo suficientemente fuerte como para soportar la caída de un gato?

Question

Estoy construyendo unos estantes para que mi gato se suba.

La posición más alta en la que estará el gato es a 2 metros por encima de la siguiente estantería.

El gato tiene una masa de 6,5 kg. La estantería tiene una carga máxima de 20 kg.

Utilizando estos parámetros, ¿cómo puedo calcular si la carga máxima de la estantería es suficiente para soportar con seguridad la caída del gato?

Answer 1

Si un objeto se acelera en una distancia $d_1$ con una fuerza constante $F_1$ y luego se desacelera en una distancia $d_2$ con una fuerza constante $F_2$ entonces la conservación de la energía nos daría que

$$F_1 d_1 = F_2 d_2$$

de lo que se deduce que

$$F_2 = F_1 \frac{d_1}{d_2}$$

En otras palabras, si el gato es capaz de absorber el impacto de su caída en una distancia mayor, la fuerza será menor. Por supuesto, cuando tienen la oportunidad, lo hacen estupendamente estirando primero las patas y agachándose después: esto se muestra muy bien en esta respuesta del que reproduzco la imagen (originalmente de Etienne-Jules Marey):

Matemáticamente, si la caída total es de 2 m y el gato puede absorber el choque a lo largo de una distancia de 20 cm (más o menos lo que baja el centro de masa desde el primer contacto hasta el gato inmóvil), entonces la fuerza media durante el aterrizaje es diez veces su peso.

Tenga en cuenta que la "clasificación" de una estantería presupone la capacidad de "dejar caer" el peso nominal: si coge un libro de 20 kg y lo coloca en la estantería clasificada para 20 kg, no esperará que la estantería se rompa (aunque ejercerá brevemente una fuerza mucho mayor que 200 N). Esto demuestra que hay que distinguir entre estático y dinámico límite: en el caso de cosas como las estanterías, suelen especificar el límite de carga como "el objeto más grande que debes poner en esta estantería", sabiendo perfectamente que cuando lo pongas de forma aproximada, la fuerza instantánea será mucho mayor.

Encontré una referencia interesante de la Asociación de Paneles Compuestos - dan reglas de diseño para estanterías, incluyendo cálculos detallados de la tensión local y la resistencia a la ruptura de los tableros de partículas. Sin conocer los detalles de la configuración de su estantería no puedo comentar sobre la aplicabilidad de estos cálculos - pero usted puede encontrar que hay alguna información útil allí. Una cosa que hay que tener en cuenta, por ejemplo, es que la tensión en la estantería depende de la distancia entre los soportes, así como de cómo se apoyan los bordes. Si te preocupa, puedes crear un soporte central para tu estantería y aumentar la capacidad de carga en más de 2 veces. Tenga en cuenta también que las reglas de diseño que dan son para mantener la deflexión de los estantes por debajo de una pequeña cantidad (0,1 pulgadas para un estante de 24 pulgadas, o alrededor del 0,4% de la luz). La rotura se producirá con deflexiones mucho mayores.

Creo que tu gato estará bastante seguro. Pero podría dar algunas lecciones de etiqueta a sus compañeros. ¿Empujarlo del estante superior? ¿De verdad?

Answer 2

Cuando el gato abandone la plataforma superior, será acelerado por el campo gravitatorio de la Tierra hacia la plataforma inferior a una velocidad de 9,8 metros por segundo, por segundo (9,8 m/seg^2). Suponiendo que su velocidad inicial fuera cero, en el momento en que el gato aterrice en la plataforma inferior su velocidad será 19,6 m/seg. .

El gato impulso en el estante inferior será de 6,5 Kg * 19,6m/seg = 127,4 Kg m/s .

Supongamos que las patas del gato miden 15 centímetros completamente extendidas. Cuando el gato aterrice, sus patas se plegarán bajo él, reduciendo su longitud efectiva a 5 centímetros. El gato desacelerará de 19,6 m/seg a cero mientras se desploma 10 centímetros. Su velocidad media durante la desaceleración será de 9,8 m/seg, por lo que tardará unos 0,1 segundos para que se detenga por completo en el estante inferior, y su desaceleración será 19,6 / 0,1 = 196 m/seg^2 .

El teorema del impulso-momento dice que el impulso que la estantería aplica al gato será igual al cambio de momento del gato. A medida que el impulso baja de 127,4 Kg m/s a cero, el impulso será 127,4 newton segundos .

Podemos derivar la fuerza de la ecuación impulso-momento:

Fuerza * t = m * ∆v

Fuerza * 0,1 seg. = 6,5 Kg * -19,6 m/seg.

Fuerza \= -127,4 Kg m/seg / 0,1 = -1,274 newtons

Comprobemos la fuerza derivada del teorema del impulso-momento, frente a la fuerza que podemos derivar de la 2ª ley del movimiento de Newton: Fuerza = 6,5Kg * -196m/seg^2 = -1,274 newtons.

La tercera ley del movimiento de Newton dice que la fuerza aplicada al gato, será aplicada por el gato al estante inferior.

Por lo tanto, el estante soportará una fuerza de 1.274 newtons. Como la estantería fue diseñada para soportar 20 Kg * 9,8 = 196 newtons, la estantería no resistirá el impacto del gato a menos que éste, mediante un tono muscular y reacciones superiores, prolongue su tiempo de desaceleración.

Es necesario colocar una almohadilla de espuma gruesa en el estante para alargar el tiempo de desaceleración, o instalar un estante mucho más fuerte.

Precaución: Mi suposición sobre la desaceleración del gato puede ser incorrecta.

Answer 3

Tendrá que estimar la rapidez con la que el gato pasa de la velocidad máxima a la parada total. Entonces, dada la velocidad inicial del gato al llegar a la estantería, utiliza el teorema del impulso-momento. La ecuación es:

$$F = \frac {\Delta p}{\Delta t}$$

¿Es suficiente información, o se necesita una ecuación adicional para calcular la velocidad inicial del gato?