¿Por qué estudiar los esquemas en lugar de sólo afín/variedades proyectivas, dada por los ceros de los polinomios en el afín/proyectiva del espacio? Quiero decir, ¿qué se gana mediante la introducción del concepto de esquemas?
Gracias!
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Edición: Editado para una mejor organización de la tricotomía se indicó en los comentarios de Qiaochu Yuan y Zhen Lin.
Hay tres aspectos distintos de los planes que cada uno tiene su propio objetivo:
(1) Afín a los esquemas de generalización afín variedades permitiendo nilpotent elementos en el anillo de coordenadas. Cuando se mira a las familias de los afín variedades, a veces la limitación de espacio es sólo un esquema y no de una variedad. Por ejemplo, considere la variedad afín dada por la ecuación $z^2 = txy$. Esta es una bien definida afín variedad que se presenta como una subvariedad de $\mathbb{A}^4$. También se podría ver como una familia de subvariedades afines de $\mathbb{A}^3$ parametrizada por $t$. Sin embargo, esto sólo es válido para $t \neq 0$. Al $t = 0$, la ecuación se convierte en $z^2 = 0$. Se podría hacer dos cosas a resolver esto: (a) Eliminar el nilpotents y decir que la variedad es $z = 0$ al $t = 0$. Con este enfoque, usted ahora tiene que comprobar para nilpotents cada vez que la degeneración de una variedad y, a continuación, eliminarlos. Y ahora hay muy pocos teoremas usted puede probar acerca de dos diferentes variedades que se producen en una familia. (b) Aceptar que nilpotents son inevitables cuando se trata de comprender a las familias de las variedades, y permitirá en su teoría geométrica. En el costo de abstracción adicional y más técnica de equipaje necesario, usted es capaz de ser mucho más potente teoremas relativos variedades de una familia (por ejemplo, la constancia de que el polinomio de Hilbert en un apartamento de la familia de subvariedades de proyectiva del espacio -- si usted no sabe lo que significa, sin embargo, que está bien, pero es muy importante el resultado).
(2) La segunda razón, que anticipó un poco por Kronecker, es que la sustitución de las coordenadas del anillo de un afín variedad algebraica con cualquier anillo conmutativo de los rendimientos de una conexión sorprendente entre algebaric goemetry y la teoría algebraica de números. En particular, muchas de las propiedades de $\text{Spec } \mathcal{O}_K$ se refieren a la clásica teoría de los números invariantes de $\mathcal{O}_K$, el anillo de enteros de un número algebraico de campo. Por ejemplo, la ramificación en el número de campos que puede interpretarse como la ramificación de los asociados geoemtric mapa entre sus espectros. También puede utilizar este enfoque para el estudio de variedades algebraicas sobre los campos que no son algebraicamente cerrado.
(3) una Vez que usted acepta afín a sistemas, un esquema general se obtiene como un cierto rodeada de espacio localmente isomorfo a un esquema afín. Esta idea se remonta a Weil, y fue introducida en la geometría algebraica, por la misma razón que, en general, los colectores se introdujo para sustituir el estudio de los integrados colectores en el espacio Euclidiano. Esto permite el encolado de las construcciones, sin tener que comprobar si el espacio resultante está incrustado en un afín o proyectiva del espacio. Por supuesto, el principal interés está todavía en estudio afín y proyectiva variedades, pero la generalidad de los esquemas permite hacer muchas más construcciones para su estudio.
Hay un par de muy buenas fuentes para recurrir para aprender más acerca de esto:
(1) Dieudonne del libro clásico, la Historia de la Geometría Algebraica
(2) Ravi Vakil del libro en progreso, Fundamentos de la Geometría Algebraica
