Necesito ayuda en la interpretación de enunciados matemáticos en lógica matemática

Question

Mi tarea consiste en traducir los enunciados matemáticos en fórmulas de lógica de predicados. Pero antes de poder escribir fórmulas sobre estos enunciados, estoy muy confundido sobre su significado.

Dado que la notación matemática de un polinomio cuadrático con coeficiente principal 1 es $P(x) = a_0 + a_1x + x^2$

(1) " $w$ es una raíz de infinitos polinomios cuadráticos con coeficiente principal 1 " \==> si quiero escribir esto en un enunciado lógico, ¿mi fórmula debe decir algo a la negación del enunciado? es decir, "hay infinitos polinomios cuadráticos con coeficiente principal 1 donde $w$ no es una raíz" ?

O debería decir: "Para todos los coeficientes $a_0, a_1$ tal que $P(x) = x^2 + a_1x + a_0$ es $0$ cuando conecto $x$ entonces siempre puedo encontrar los otros dos coeficientes $b_0, b_1$ (diferente de $a_0, a_1$ ) de tal manera que cuando los reemplazo con el $a_0, a_1, P(x)$ sigue siendo $0$ en $x$ " ?

¿Qué significa realmente esta afirmación?

(2) " $w$ es una raíz de polinomios de grado arbitrariamente grande con coeficiente principal 1". \==> ¿Significa la afirmación "hay infinitos polinomios de grado $n$ con coeficiente principal 1, tal que $w$ es una raíz?" o simplemente significa que "si puedo encontrar un polinomio de grado $n$ tal que $w$ es una raíz, entonces puedo encontrar un polinomio diferente de grado $n$ donde $w$ es también una raíz" ?

¿Podría alguien ayudarme en esto? Llevo un par de días dándoles vueltas y sigo perdido >_< Gracias de antemano :)

Answer 1

Para (1), ya sabes lo que es un polinomio cuadrático con coeficiente principal 1: es $P(x)=x^2+a_1x+a_0$ por lo que cada uno de estos polinomios se describe completamente dando valores para $a_1\text{ and }a_0$ . (Un polinomio con coeficiente principal $1$ se llama polinomio "mónico", por cierto). También sabes lo que significa para un número $w$ para ser una raíz de un polinomio $P(x)$ significa que $P(w) = 0$ Es decir, cuando se enchufa $w$ en el polinomio el resultado se evaluará como $0$ . Ahora combina lo que ya sabes en una traducción rigurosa de tu expresión.

Para cualquier número $w$ hay infinitos pares de números $b_1, b_0$ para lo cual $w^2+b_1w+b_0 = 0$ .

La única parte complicada de esta expresión es la primera cláusula. La frase original no lo menciona, pero como la frase no dice nada más sobre $w$ la interpretación más natural es que la frase se aplicara a *cualquier* número $w$ .

Hay un detalle más que he pasado por alto y que puede ser muy importante: he hablado de "números" y eso debería concretarse. Una interpretación razonable sería la de números reales, pero el problema podría leerse como si sólo hablara de números enteros, por ejemplo. La opción más general sería los reales, así que en la definición anterior, anteponga las dos instancias de "número" por "real".

Para (2), necesitas descifrar "polinomio de grado arbitrariamente grande". Parece que sabes que el grado de un polinomio es el mayor número entero $k$ que aparece en cualquier término $a_kx^k$ del polinomio, por lo que en esta frase, "grado arbitrariamente grande" significa que se puede encontrar un polinomio de grado al menos $n$ para cualquier número entero $n\ge 0$ . Juntando todas estas definiciones tendrás algo que exprese

• Para cualquier número real $w$ ,
• y cualquier número entero $n\ge 0$ ,
• hay un polinomio mónico $P(x)$ de grado $\ge n$ ,
• para lo cual $w$ es una raíz.

El resto lo dejaré para ti. Buena suerte.

Answer 2

(1) "Si quiero escribir esto en un enunciado lógico, ¿debería mi fórmula decir algo a la negación del enunciado?" No parece que el problema diga nada sobre la negación, así que no deberías pensar en ese sentido. "es decir, "hay infinitos polinomios cuadráticos con coeficiente principal 1 donde $w$ no es una raíz" ?" En realidad eso no es la negación de la afirmación, pero como dije, la negación de la afirmación puede no ser relevante para el problema que se te planteó. "O debería decir..." Eso está más cerca, pero tiene un grave problema: sólo implica que hay al menos dos polinomios, en lugar de infinitos. (Además, está en inglés, en lugar de una fórmula de la lógica de predicados, pero supongo que primero intentabas aclarar el significado). ¿Habéis discutido antes en este curso algún enunciado matemático con "infinitamente muchos"? Si no es así, ¿hay algún ejemplo así en el libro de texto?

"¿Qué significa realmente la declaración?" Significa que hay una infinito grupo de polinomios con coeficiente principal 1 que tienen $w$ como raíz. Por ejemplo, la afirmación sería verdadera para $w=0$ desde $w$ es una raíz de $x^2$ , $x^2+x$ , $x^2+2x$ , $x^2+3x$ ,...

(2) "La declaración significa..." Ninguna de las dos cosas. "Arbitrariamente grande" significa "para cualquier tamaño que pienses, hay uno más grande que ese". Así que sería cierto para $w=0$ desde $w$ es una raíz de $x$ y $x^2$ y $x^4$ y $x^8$ y... Cualquiera que sea el natural que digas (por ejemplo, 1000), puedo nombrar un grado tal que $w$ es una raíz de al menos un polinomio (con coeficiente principal 1) de ese grado (por ejemplo, 1024: $w$ es una raíz de $x^{1024}+5x$ .