Al hacer una demostración, ¿se pueden utilizar los axiomas al revés?

Question

Estoy trabajando en probar lo siguiente:

$$ \{\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \theta)\} \vdash \{ \psi \rightarrow (\phi \rightarrow \theta) \} $$

Me dan los siguientes axiomas: $$ Ax\ 1) \ \{\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \phi)\} $$ $$ Ax\ 2) \ \{(\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \theta)) \rightarrow ((\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \theta)) \} $$ $$ Ax\ 3) \ \{ (\lnot \psi \rightarrow \lnot \phi) \rightarrow (\phi \rightarrow \psi)\} $$

y puede utilizar el Modus Ponens (MP).

Dado el supuesto: $$ 1) \ \phi \rightarrow (\psi \rightarrow \theta) $$ Eje 2: $$ 2) \ (\phi \rightarrow (\psi \rightarrow \theta)) \rightarrow ((\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \theta)) $$ MP 1 y 2: $$ 3) \ ((\phi \rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \theta)) $$ MP 1 y 3: $$ 4) \ (((\psi \rightarrow \phi)\rightarrow \psi) \rightarrow (\phi \rightarrow \theta)) $$

¿Puedo entonces utilizar el eje 1 al revés? $$ 5) \ (\psi \rightarrow (\phi \rightarrow \theta)) $$

Para otro ejemplo, supongamos: $$ (\lnot \psi \rightarrow \lnot \phi) \rightarrow (\phi \rightarrow \psi) $$ ¿Puedo entonces utilizar el eje 3 al revés? $$ (\lnot \psi \rightarrow \lnot \phi) $$

Answer 1

Es importante reconocer que el cálculo proposicional no es sólo un empuje de símbolos, se supone que refleja la verdad real y el razonamiento. Piensa en lo que dice realmente el paso que propones y en lo que dicen tus axiomas.

Los axiomas que tienes son todos enunciados verdaderos. El primero, por ejemplo, dice "si $\phi$ es cierto, entonces también es cierto que si $\psi$ es verdadero, entonces $\phi$ es cierto". En otras palabras, si ya sé $\phi$ Entonces debería ser capaz de inferir $\psi \to \phi$ . Pero fíjate que la misma línea de pensamiento no funciona a la inversa: si sé que $\phi$ sería sea cierto si $\psi$ eran, eso no me permite inferir que $\phi$ ¡es realmente cierto! Es cierto que si el fuego era frío entonces se podría poner la mano en él sin peligro, pero la mayoría estamos de acuerdo en que no se debe poner la mano en el fuego.

Ese ejemplo debería decírselo, en general, un axioma y su versión "inversa" no son intercambiables . En raras ocasiones, se puede invertir un axioma con seguridad, pero normalmente no.