Relación entre diferentes presentaciones de una matriz semidefinida positiva

Question

Dejemos que $P$ sea una semidefinida positiva $n\times n$ matriz de rango $r$ . Entonces podemos escribir $$P=\sum_{j=1}^r v_jv_j^*,\ \ \text{where}\ \ \ v_1,\ldots,v_r\in\mathbb C^n.$$

Si además tenemos $P=\sum_{j=1}^r w_jw_j^*$ para algunos $w_1,\ldots,w_r\in\mathbb C^n$ ,

¿Cuál es la relación entre $v_1,\ldots,v_r$ y $w_1,\ldots,w_r$ ?

Answer 1

No estoy seguro de qué propósito tiene su ejercicio, pero la respuesta puede ser más sucinta. Juntar los vectores $v_i$ s para formar una matriz $V$ y definir $W$ análogamente. Entonces ambos $V$ y $W$ tienen rangos de columna completos y $VV^\ast=WW^\ast$ . Por lo tanto, $V^\ast x=0$ si y sólo si $W^\ast x=0$ es decir, los espacios de las columnas de $V$ y $W$ tienen un complemento ortogonal común $\mathcal X$ . Sea $X$ sea una matriz cuyas columnas forman una base de $\mathcal X$ . Entonces ambas matrices aumentadas $[V|X]$ y $[W|X]$ son invertibles. Como $VV^\ast=WW^\ast$ obtenemos $[V|X][V|X]^\ast = [W|X][W|X]^\ast$ . Así, $U=[W|X]^{-1}[V|X]$ es una matriz unitaria y $V=WU$ .

Answer 2

La relación es que existe una unidad $U\in M_r(\mathbb C)$ tal que $$w_j=\sum_{k=1}^r U_{jk}v_k.$$

En efecto, fijar una base ortonormal $e_1,\ldots,e_n$ de $\mathbb C^n$ y podemos escribir $$v_k=\sum_{k=1}^ns_{jk}e_j,\ \ \ w_k=\sum_{j=1}^rt_{jk}e_j.$$ Ahora considere $S,T\in M_r(\mathbb C)$ con $S_{kj}=s_{kj}$ , $T_{kj}=t_{kj}$ . Entonces $$P=\sum_{k=1}^rv_kv_k^*=\sum_{k=1}^r\sum_{j,\ell=1}^rs_{jk}\overline{s_{\ell k}}e_je_\ell^*=\sum_{k=1}^r\sum_{j,\ell=1}^rS_{jk}{(S^*)_{k \ell}}e_je_\ell^*=\sum_{j,\ell=1}^r(SS^*)_{j\ell}e_je_\ell^*.$$ De la misma manera, $$P=\sum_{j,\ell=1}^r(TT^*)_{j\ell}e_je_\ell^*.$$ Como $e_je_\ell^*$ son las unidades de la matriz en $M_r(\mathbb C)$ , obtenemos que $TT^*=SS^*$ . Ahora escribimos las descomposiciones polares $$S^*=W(SS^*)^{1/2},\ \ T^*=V(TT^*)^{1/2},$$ donde $W,V$ son unitarios. Entonces $S=(SS^*)^{1/2}W^*$ y $$T=(TT^*)^{1/2}V^*=(SS^*)^{1/2}V^*=SWV^*=SZ,$$ donde $Z=WV^*$ . Ahora $$\begin{align} w_j&=\sum_{k=1}^r t_{kj}e_k=\sum_{k=1}^r(SZ)_{kj}e_k=\sum_{k,m=1}^rS_{km}Z_{mj}e_k\\ \ \\ &=\sum_{m=1}^r Z_{mj}\sum_{k=1}^rS_{km}e_k=\sum_{m=1}^rZ_{mj}v_m\\ \ \\ &=\sum_{m=1}^rU_{jm}v_m, \end{align}$$ donde $U=Z^T$ .