Hallar la densidad de la variable aleatoria con función característica $\varphi(t)=(1-|t|)^+$ .

Question

Supongamos que un $X$ es una variable aleatoria, me piden que encuentre la densidad de la variable aleatoria con función característica $\varphi(t)=(1-|t|)^+$ .

Estoy tratando de utilizar la fórmula de inversión para las funciones de carácter

$$P(a<X<b)+\frac{1}{2}(P(X=a)+P(X=b))=\frac{1}{2\pi}\lim_{T\rightarrow \infty}\int_{-T}^T\frac{e^{-iat}-e^{-ibt}}{it}\varphi(t)dt$$

Al final tenemos que calcular la siguiente integral,

$$\int_{-1}^1\frac{e^{-iat}-e^{-ibt}}{it}(1-|t|)^+dt $$

Lo cual me está resultando muy difícil debido a la $1/t$ factor. ¿Alguna otra idea?

Answer 1

Una pista:

Utiliza la siguiente fórmula de inversión:

$$p(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{\imath \, t x} \phi(t) \, dt;$$

aquí $p$ denota la densidad de $X$ . Utilizando la definición de $\phi$ y el hecho de que $2\cos(tx) = e^{\imath \, tx} + e^{-\imath \, tx}$ , demuestran que

$$p(x) = 2 \int_0^1 \cos(xt) (1-t) \, dt.$$

Solución: $$p(x) = 2 \frac{1-\cos(x)}{x^2}.$$