$\int_A e^{-(x^2+y^2+xy)}$ donde $A = \{(x,y): x^2+y^2+xy \leq 1 \}$

Question

Estoy tratando de resolver el siguiente problema $$\int_A e^{-(x^2+y^2+xy)}$$ donde $A = \{(x,y): x^2+y^2+xy \leq 1 \}$ .

Sé cómo resolver el problema cuando el dominio es $\mathbb{R}^2$ : se completa el cuadrado y se transforma en la integral de Gauss. He intentado utilizar un cambio de variables a coordenadas polares pero me sale:

$$ \int^{2 \pi}_0 \int^{(1+\tfrac{1}{2} \sin(2 \theta)^{-1}}_{-(1+\tfrac{1}{2} \sin \theta)^{-1}} e^{-r^2 (1+\tfrac{1}{2} \sin(2 \theta))} r dr d\theta $$ pero los cálculos son bastante complicados. ¿Puede darme una pista?

Answer 1

$ \displaystyle x^2 + y^2 + xy = \left(x + \frac y2\right)^2 + \left(\frac {\sqrt3 y}{2}\right)^2$

Uso de la sustitución $ \displaystyle u = x + \frac y2, v = \frac {\sqrt3 y}{2}$

$ \displaystyle |J| = \frac 2 {\sqrt3}$

$x^2 + y^2 + xy \leq 1 \implies u^2 + v^2 \leq 1$ , que es un círculo unitario.

Así, utilizando coordenadas polares, la integral se traduce en

$ \displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^1 r ~ e^{-r^2} |J| ~ dr ~ d\theta$