Cuando intento graficar la función $\ y=(-2)^x$ todo lo que sale es un punto en (1,0). ¿Por qué mi calculadora no grafica nada más? ¿Existe esta gráfica? ¿Qué aspecto tiene?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
AlexanderJ93
Puntos
101
$(-2)^x$ sólo es un número real cuando $x$ es una fracción con denominador impar. Esto se debe a que $(-2)^x = e^{x\log(-2)} = e^{x[\log(2)+(2k+1)i\pi]} = e^{x\log(2)}\cdot e^{(2k+1)i\pi x} = 2^x\left[ \cos((2k+1)\pi x) + i\sin((2k+1)\pi x) \right]$ .
Este número es real si y sólo si $\sin((2k+1)\pi x) = 0$ lo que significa que el argumento de $\sin$ debe ser un múltiplo entero de $\pi$ es decir $(2k+1)\pi x = n\pi \Rightarrow x = \frac{n}{2k+1}$ para los enteros $n,k$ .
En el álgebra compleja, dado que hay múltiples $p$ -raíces, tendemos a elegir $x^{1/p}$ para ser la raíz principal, que no es un número real cuando $x$ es real y $p>1$ . Por lo tanto, a la luz de esto, $(-2)^x$ sólo es real cuando $x$ es una fracción cuyo denominador es $1$ En otras palabras, un número entero. Como la función sólo es real para un subconjunto (relativamente) pequeño de entradas con números reales, la mayoría de las utilidades gráficas no mostrarán una curva.
Si quiere ver la curva completa con partes reales y complejas, puede introducir $(-2)^x$ en WolframAlpha.
Xander Henderson
Puntos
805
El problema fundamental aquí es uno de dominio . Recordemos que una función es una forma de asignar puntos u objetos de un conjunto (el dominio) a puntos u objetos de otro conjunto (el codominio). Podemos escribir $$ f : X \to Y, $$ que dice que $f$ es una función con dominio $X$ y codominio $Y$ . El gráfico de $f$ es entonces un subconjunto del producto cartesiano $X\times Y$ . Formalmente, $$ X\times Y := \{ (x,f(x)) : x\in X \}. $$ En inglés, es el conjunto de todas las tuplas o pares ordenados $(x,y)$ tal que $x$ es un elemento del dominio de $f$ y $y = f(x)$ es el punto en el rango de $f$ que $x$ se envía a. Dado que los seres humanos tienen sistemas de procesamiento visual muy evolucionados, a menudo dibujamos gráficos en un intento de obtener una mejor comprensión. Esto es particularmente fácil de hacer cuando el dominio y el codominio son ambos los números reales, porque podemos dibujar un par de ejes verticales, y tratar los puntos del gráfico como puntos en el plano.
Entonces, ¿qué tiene esto que ver?
Cuando intentamos definir una función mediante la fórmula $f(x) = (-2)^x$ En primer lugar, tenemos que determinar qué tipo de objetos podemos introducir en esta función, es decir, cuál es el dominio.
Normalmente, nos gusta trabajar con números reales. De hecho, a no ser que se nos indique lo contrario, esto es lo que probablemente esté haciendo su calculadora. Desgraciadamente, esta función no está definida para la mayoría de los números reales. Está bien definida para los números enteros, y está bien para los números racionales con denominadores Impares, pero comienza a tener acidez cuando se alimentan los números racionales con denominadores pares, y prácticamente se rinde en los números irracionales.
El problema, más o menos, es que si $n$ es un número entero, entonces la función $y \mapsto y^{2n}$ sólo dará lugar a números positivos. Desafortunadamente, esto significa que no hay números $x$ y $n$ (con $n$ y entero) tal que $-2 = y^{2n}$ . Tomando los inversos, esto significa que $(-2)^{\frac{1}{2n}} = \sqrt[2n]{-2} = y$ no está definido. Por extensión, si $n$ es un número entero, entonces $$ f\left( \frac{m}{2n} \right) = (-2)^{\frac{m}{2n}} = \sqrt[2n]{-2}^m $$ es indefinido. Los problemas son aún peores en el caso de los números irracionales: ni siquiera hay una buena forma de definir $(-2)^x$ para un número irracional arbitrario sin que sea bastante disimulado.
Por lo tanto, como una función con números reales como su dominio, $f(x) = (-2)^x$ va a ser un verdadero dolor de cabeza para graficar. Supongo que se podría graficar un gran conjunto de puntos de la forma $(x,(-2)^x)$ donde $x$ es un número racional con denominador impar, pero no podrías "conectar los puntos" de forma significativa (es decir, la función es bastante discontinua).
Por otro lado, si nos permitimos trabajar con números complejos en lugar de números reales, hay cosas que se pueden hacer (aunque no sin dificultad). Como AlexanderJ93 parece haber abordado este punto mientras yo escribía, me limitaré a remitirte a su respuesta.
