Por cada $n \geqslant1 $ y cada $(x,a_1, \ldots ,a_n)$ de tal manera que $x \ne -a_k$ para cada $k$ , $$ \color {red}{ \sum_ {k=1}^n \frac {a_1a_2 \cdots a_{k-1}x}{(x+a_1) \cdots (x+a_k)}=1- \frac {a_1a_2 \cdots a_{n}}{(x+a_1) \cdots (x+a_n)}} $$ Por lo tanto, la fórmula del puesto se mantiene si y sólo si $$ \prod_ {k=1}^{ \infty } \frac {a_k}{x+a_k}=0, $$ que, por $x \gt0 $ y al menos si la secuencia $(a_k)$ no es negativo, es equivalente al hecho de que $$ \color {green}{ \sum_ {k} \frac1 {a_k}}\ \text {diverges}. $$ Aquí hay una prueba probabilística de la versión finita, válida para todos los no-negativos $a_k$ y positivo $x$ (obsérvese que una vez que se conocen estas dos expresiones racionales en $(x,a_1, \ldots ,a_n)$ coinciden para estos valores, uno sabe que de hecho son idénticos).
Prueba: Supongamos que uno realiza una secuencia de $n$ experimentos independientes y que el $k$ el experimento tiene éxito con probabilidad $$p_k= \frac {x}{x+a_k}.$$ Entonces el $k$ El término de la suma en el LHS de la ecuación anterior es la probabilidad de que cada experimento de $1$ a $k-1$ fracasó y ese experimento $k$ tuvo éxito. Por lo tanto, su suma es la probabilidad de la unión desarticulada de estos eventos, que es exactamente el evento que al menos un experimento de $1$ a $n$ tuvo éxito. El evento complementario corresponde a $n$ fallas, por lo tanto su probabilidad es el producto de $1$ a $n$ de las probabilidades de fallas $1-p_k$ es decir.., $$ \prod_ {k=1}^n(1-p_k)= \prod_ {k=1}^n \frac {a_k}{x+a_k}.$$ Esto prueba la afirmación.
