Prueba de onto bajo intervalo $(0,1)$

Question

¿Cómo puedo demostrar que la función $$f:(0,1)\rightarrow \mathbb R$$ definido por:

$$f(x) = \frac{-2x+1}{(2x-1)^2-1}$$

es en?

Answer 1

Sólo comprueba que $$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty\text{ and that }\lim_{x\to1^-}f(x)=+\infty.$$ Ahora, el hecho de que la restricción de $f$ a $(0,1)$ es onto es una consecuencia del teorema del valor intermedio.

Answer 2

Tenga en cuenta que

• $\lim_{x\to 0^+} f(x)=-\infty$
• $\lim_{x\to 1^-} f(x)=\infty$

por lo tanto, ya que $f(x)$ es continua para $x\in(0,1)$ por IVT tenemos que $f(x)$ está en.

Además, hay que tener en cuenta que para $x\in(0,1)$ tenemos que $f(x)$

$$f'(x)=\frac{2x^2-2x+1}{x(x-1)^2x^2}\ge 0$$

por lo tanto es estrictamente creciente y también uno a uno en ese intervalo.

Por lo tanto, $f(x):(0,1)\to \mathbb{R}$ también es biyectiva e invertible.

Answer 3

Como alternativa, establezca $t = 2x-1$ y para cada $r \in \mathbb{R}$ demostramos que podemos encontrar un número $t$ y luego un $x \in (0,1)$ tal que $f(x) = r$ . Tenemos: $\dfrac{t}{1-t^2}=r$ . Así que esto da $t = r - rt^2\implies rt^2+t -r = 0$ . Si $r = 0 \implies t = 0\implies x = \dfrac{1}{2}$ . Si $r \neq 0$ , $t = \dfrac{-1\pm \sqrt{1+4r^2}}{2r}$ . Si $r > 0$ , toma $t = \dfrac{-1+\sqrt{1+4r^2}}{2r}>0$ y $t = \dfrac{2r}{1+\sqrt{1+4r^2}}< \dfrac{2r}{\sqrt{1+4r^2}}<1\implies t \in (0,1)\implies x = \dfrac{t+1}{2} > \dfrac{1}{2} > 0$ y $x < \dfrac{1+1}{2} = 1\implies x \in (0,1)$ . Si $r < 0$ , elija $t = \dfrac{-1+\sqrt{1+4r^2}}{2r}\implies x = \dfrac{-1+2r+\sqrt{1+4r^2}}{4r}$ . Obsérvese que con $r < 0\implies \sqrt{1+4r^2} < 1-2r$ ( claro ), y esto da como resultado $-1+2r+\sqrt{1+4r^2} < 0\implies x > 0$ . Para completar la prueba, se muestra $x < 1$ . Pero $x = \dfrac{1-2r-\sqrt{1+4r^2}}{-4r}< 1 \iff 1-2r-\sqrt{1+4r^2} < -4r\iff 1+2r < \sqrt{1+4r^2}\iff 4r < 0$ y esto es cierto ya que $r < 0$ ( por supuesto ) .