La métrica inducida en la órbita del grupo lineal es homogénea de Riemann

Question

Consideremos la representación estándar de $ SO_3(\mathbb{R}) $ actuando sobre $ \mathbb{R}^3 $ . Entonces, para cualquier vector no nulo $ v \in \mathbb{R}^3 $ la órbita $$ \mathcal{O}_v=\{gv: g \in SO_3(\mathbb{R}) \} $$ es una esfera de radio $ |v| $ . Y la métrica en la esfera, inducida por la métrica euclidiana en el espacio ambiente $ \mathbb{R}^3 $ es la métrica redonda. Una esfera redonda es homogénea de Riemann (en otras palabras, el grupo de isometría actúa transitivamente).

Esto me lleva a mi pregunta. Dejemos que $ G $ sea un grupo compacto y $ \pi:G \to GL_n(\mathbb{R}) $ una representación. Para cualquier $ v \in \mathbb{R}^n $ definen la órbita de $ v $ para ser $$ \mathcal{O}_v=\{\pi(g)v: g \in G \} $$ Dejemos que $ g $ sea la métrica en $ \mathcal{O}_v $ inducida por la métrica euclidiana en $ \mathbb{R}^n $ . Entonces es $ (\mathcal{O}_v,g) $ ¿Riemanniano homogéneo? En otras palabras, ¿el grupo de isometría $ Iso(\mathcal{O}_v,g) $ actúan transitoriamente sobre $ \mathcal{O}_v $ ?

Answer 1

Esto es falso. Como contraejemplo, considere un $SO(3)$ acción sobre $\mathbb{R}^n$ conjugada a la estándar por una matriz invertible no ortogonal $A$ . Las órbitas son elipsoides no esféricos, que no son homogéneos.

La afirmación es válida específicamente para ortogonal representaciones, y por supuesto toda representación de un grupo compacto es ortogonal con respecto a algunos producto interno, pero no necesariamente el estándar.