Calcular $\lim_{n\to\infty} \sqrt{5n^2+4}~-~\sqrt{5n^2+n}$

Question

Calcula: $$\lim_{n\to\infty} \sqrt{5n^2+4}~-~\sqrt{5n^2+n}$$

Aunque sé cómo manejar límites como éste, me interesaría conocer otras formas de abordar tareas similares a ésta. Mi propia solución estará en el fondo.

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Mi propia solución

$$\lim_{n\to\infty} \sqrt{5n^2+4}~-~\sqrt{5n^2+n}~\frac{\sqrt{5n^2+4}~+~\sqrt{5n^2+n}}{\sqrt{5n^2+4}~+~\sqrt{5n^2+n}}$$ $$\lim_{n\to\infty} \frac{5n^2+4~-~(5n^2+n)}{\sqrt{5n^2+4}~+~\sqrt{5n^2+n}}~=~\lim_{n\to\infty} \frac{4-n}{n\left(\sqrt{5+\frac4{n^2}}~+~\sqrt{5+\frac1{n}}\right)}$$ $$=~\frac{-1}{2\sqrt{5}}~=~-\frac{\sqrt{5}}{10}$$

Answer 1

Dejemos que $1/n=h$

Como $n\to\infty,h\to0+,h>0$

$$\sqrt{5n^2+4}=\sqrt{\dfrac{5+4h^2}{h^2}}=\dfrac{\sqrt{5+4h^2}}{\sqrt{h^2}}$$

Ahora $\sqrt{h^2}=|h|=+h$ para $h>0$

Por lo tanto, tenemos $$\lim_{h\to0^+}\dfrac{\sqrt{5+4h^2}-\sqrt{5+h}}h=\lim_{h\to0^+}\dfrac1{\sqrt{5+4h^2}+\sqrt{5+h}}\cdot\lim_{h\to0^+}\dfrac{5+4h^2-(5+h)}h=?$$

Answer 2

Dos ideas alternativas:

(1) Escriba $$ \sqrt{5n^2+4} - \sqrt{5n^2+n} = \sqrt 5n(\sqrt{1 + 4/5n^2} - \sqrt{1 + 1/5n}) $$ y utilizar Taylor ( $\sqrt{1 + x} = 1 + x/2 - x^2/8 + \cdots$ ).

(2) Sea $f(x) = \sqrt x$ . Por el teorema del valor medio, para algunos $c_n\in(5n^2 + 4,5n^2 + n)$ $$ \sqrt{5n^2 + 4} - \sqrt{5n^2 + n} = f'(c_n)((5n^2 + 4) - (5n^2 + n)) = -\frac{4 - n}{2\sqrt{c_n}} = -\frac{4/n - 1}{2\sqrt{c_n/n^2}}, $$ y apretando $c_n/n^2\to 5$ .

Answer 3

Teniendo en cuenta que $\frac{4}{n^2}<< \frac{1}{n}$ para grandes $n$ tenemos

$$ \lim_{n\to\infty} \sqrt{5n^2+4}~-~\sqrt{5n^2+n} \equiv \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{5+4h^2}-\sqrt{5+h}}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{5+o(h^2)}-\sqrt{5+h}}{h} $$

recuerde ahora la definición de derivada

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt x}{h} = \frac 12\frac{\sqrt x}{x} $$

por lo que el resultado es

$$ -\frac 12\frac{\sqrt 5}{5} $$