¿Cuál es la probabilidad de $x$ ¿sólo para ser positivo?

Question

Si $x,y,z\in \mathbb R$ y $x+y+z=5,\, xy+yz+zx=3$ ¿Cuál es la probabilidad de que $x>0$ ? $$(a)\quad\frac3{16}\qquad (b)\quad\frac5{16}\qquad (c)\quad\frac{13}{16}\qquad (d)\quad \frac{15}{16}$$

He intentado formar una ecuación cúbica y luego tratar de analizar sus raíces.

¿Cómo abordar este tipo de preguntas?

Answer 1

Las soluciones de sus dos ecuaciones forman un círculo en $xyz$ espacio, la intersección de la esfera $x^2 + y^2 + z^2 = 19$ con el avión $x+y+z=5$ que se puede parametrizar como $$ \eqalign{x &= \frac{5}{3} - \frac{8}{3} \cos(t)\cr y &= \frac{5}{3} + \frac{4}{\sqrt{3}} \sin(t) + \frac{4}{3} \cos(t)\cr z &= \frac{5}{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} \sin(t) + \frac{4}{3} \cos(t)\cr} $$

No está nada claro cómo interpretar "probabilidad" en este contexto, pero no hay $t$ para lo cual $x > 0$ mientras que $y \le 0$ y $z \le 0$ . Así que si $x > 0$ sólo significa $x > 0$ mientras que $y \le 0$ y $z \le 0$ la respuesta debe ser $0$ . Por otro lado, si se pide la probabilidad de que $x > 0$ una posible interpretación sería la probabilidad de que $x>0$ si se tomara al azar una $t$ uniformemente de $[-\pi,\pi]$ . Entonces usted obtendría $x > 0$ si $\cos(t) < 5/8$ es decir, con probabilidad $1 - \frac{\arccos(5/8)}{\pi} \approx 0.7149010415$ . Este es un número irracional. Así que de nuevo "ninguna de las anteriores".

Answer 2

Dado que $x+y+z=5$ y $xy+yz+zx=3$ encontramos que $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=19$ .

Ahora encontramos el rango de $x$ . Para ello, escribimos $y+z=5-x$ y $y^2+z^2=19-x^2$ .

Ahora, mediante una aplicación básica de Desigualdad A.M-G.M o Lemma de Titu podemos escribir $y^2+z^2 \geq \dfrac{(y+z)^2}{2} \implies 19-x^2 \geq \frac{(5-x)^2}{2} \iff (x+1)\left(x-\frac{13}{3}\right)\leq 0$ .

Por lo tanto, $x \in \left[-1,\frac{13}{3}\right]$ por lo que la probabilidad de que $x>0$ es $\dfrac{\frac{13}{3}}{1+\frac{13}{3}}=\boxed{\frac{13}{16}}$ .