¿Tiene toda matriz compleja invertible un valor propio distinto de cero?

Question

Dejemos que $M$ ser un $n \times n$ matriz sobre el campo de los números complejos. Además, supongamos que $M$ es invertible. Ahora dejemos que $E$ sea el conjunto de valores propios que es

$$E = \{\lambda \in \mathbb{C}: \exists v \in \mathbb{C}^n\setminus\{0\}, Mv=\lambda v\}$$

Ahora bien, ¿es cierto que $E\cap\{0\}^c \neq \emptyset$ es decir, ¿ $M$ siempre tienen un valor propio no nulo.

Mi pensamiento es que por el teorema fundamental del álgebra, sé que todo polinomio complejo, es decir, todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una solución, y por tanto puedo concluir que $E\neq \emptyset$ . Ahora bien, la afirmación general es claramente falsa si no suponemos que $M$ es invertible, ya que la matriz cero sólo tiene cero como valor propio. Entonces, ¿es suficiente la condición de invertibilidad?

Answer 1

Como todo polinomio tiene una raíz sobre $\mathbb{C}$ el polinomio característico de cualquier matriz compleja debe tener una raíz, digamos $\lambda$ . Entonces $\lambda$ es un valor propio de la matriz en cuestión. Como se supone que la matriz es invertible, tenemos $\lambda \neq 0$ .

En cuanto a la última afirmación, si $M$ tiene $0$ como valor propio, hay algún vector propio no nulo $x$ : $Mx=0$ y $M$ no es invertible.

Answer 2

Desde $\mathbb{C}$ es algebraicamente cerrada, cualquier matriz $A$ puede escribirse (por cambio de base) en Forma normal de Jordania . Cada bloque de Jordan tiene exactamente un vector propio asociado, por lo que hay al menos un vector propio. (En el peor de los casos, sólo hay un bloque; por ejemplo, éste es el caso de las matrices $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix} i & 1 & 0 \\ 0 & i & 1 \\ 0 & 0 & i \end{bmatrix}$ . En este caso hay exactamente un vector propio). No necesitamos suponer que $A$ es invertible.

Para otras pruebas posiblemente más elementales, véase aquí y aquí . Nótese que tener al menos un valor propio equivale a tener al menos un vector propio.

También hay que tener en cuenta que los vectores propios son, por definición, distintos de cero, por lo que "vector propio distinto de cero" es extraño. Tal vez usted quiere decir no cero eigenvalue.

Answer 3

Dejemos que $A\in \Bbb C^{n\times n}$ sea invertible $\iff |A|≠0$ . También $|A|=\lambda_1...\lambda_n$ Por lo tanto...