¿Cómo es el "área" de un vector?

Question

"Consideramos que el Área como un vector."

¿Cómo es un área de un vector? Por qué es que el vector es siempre normal a la zona de elemento?

Answer 1

Es un tramposo, un matemático juego de manos. En 3d, un plano de subespacio siempre tendrá una única dirección normal, y así que usted puede conseguir lejos con usar los vectores normales en lugar de introducir un montón de extra marco matemático. El uso de vectores normales tiene sentido debido a que estos vectores son exclusivos de hasta un signo y magnitud.

En espacios con más de tres dimensiones, los planos no tienen vectores normales, y el trato con otros marcos de trabajo para ocuparse de tales objetos es inevitable.

Edit: el uso de álgebra de clifford, usted puede manejar directamente las áreas (planos) como bivectors. El producto de los vectores que produce tales objetos no es el producto cruzado, pero la cuña de producto. El producto exterior es anticommutative, por lo $a \wedge b = - b \wedge a$, similar a la de la cruz del producto, y además de la $a \wedge a = 0$.

He aquí un ejemplo. Deje $u = 3\hat x + 2 \hat y$$v = 5 \hat y + 2 \hat z$. El área de un paralelogramo generado por estos dos vectores es

$$A = u \wedge v = (3 \hat x + 2 \hat y) \wedge (5 \hat y + 2 \hat z) = 15 \, \hat x \wedge \hat y + 6 \, \hat x \wedge \hat z + 4 \, \hat y \wedge \hat z$$

Compare esto con el correspondiente cálculo utilizando el producto cruzado. Los componentes son todos de la misma, pero la interpretación del objeto es diferente. De nuevo, la razón principal para hacer esto en lugar de utilizar pseudovectors es que este método es válido para cualquier número de dimensiones. Además, algunos aspectos de las transformaciones lineales no son evidentes mediante pseudovectors (¿por qué debería un pseudovector transformar de manera diferente que los vectores utilizados para construirlo?) pero puede ser visto de forma más intuitiva de usar bivectors. Uno de estos casos es la inversión a través del origen.

Answer 2

Es sólo una definición de que es útil sobre todo en la física. Si desea integrar el flujo de un líquido o de un campo electromagnético de una superficie dada (por ejemplo la superficie de una pelota), desea multiplicar cada diferencial de área de la superficie en el correspondiente flujo. Pero, ¿y si el flujo no es perpendicular a la superficie? en este caso queremos multiplicar el flujo (que es un vector) con la normal de la superficie.

Así que en lugar de escribir: $${\bf{v}}\cdot{\bf{n}}\ dA$$ Ahora podemos escribir: $${\bf{v}}\cdot{\bf{dA}}$$

Answer 3

De hecho, usted puede tener un n-dimensional de la cruz-producto que generaliza las 3 dimensiones de producto cruzado.

Si $A_i, i=1, n-1$ son $n-1$ $n$-dimensiones de los vectores con los elementos de la $A_i$ siendo $a_{i,1}, a_{1,2}, ..., a_{i, n}$, y el $n$ vectores unitarios son $e_1, ..., e_n$, a continuación, el siguiente determinante es un n-dimensional vector ortogonal a todas las $A_i$:

$\left| \begin{array}{cccc} e_1 & e_2 & ... & e_n \\ A_{1,1} & A_{1,2} & ... & A_{1,n} \\ A_{2,1} & A_{2,2} & ... & A_{2,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ A_{k,1} & A_{k,2} & ... & A_{k,n} \\ ... & ... & ... & ... \\ A_{n-1,1} & A_{n-1,2} & ... & A_{n-1,n} \\ \end{array} \right|$