Por qué $E(t)=\int_{\mathbb{R}}|u(x,t)|^2\,dx$ ¿puede diferenciarse bajo el signo integral?

Question

Supongamos que $u(x,t)$ cumple las siguientes condiciones:

(i) $u$ es continua en el cierre del semiplano superior.

(ii) $u$ satisface la ecuación del calor $\frac{\partial{u}}{\partial t}=\frac{\partial^2{u}}{\partial x^2}$ para $t>0$ .

(iii) $u$ satisface la condición de contorno $u(x,0)=0$ .

(iv) $u(\cdot,t)\in\mathcal{S(\mathbb{R})}$ uniformemente en $t$ Es decir $\displaystyle \sup_{\substack{x\in\mathbb{R}\\0<t<T}}|x|^k\left|\frac{\partial^l}{\partial x^l}u(x,t)\right|<\infty$ para cada $k,l\geq0$ .

Entonces podemos concluir $u=0$ .

En la prueba, deja $E(t)=\int_{\mathbb{R}}|u(x,t)|^2\,dx$ y afirmar que se puede diferenciar bajo el signo integral debido a las propiedades anteriores. Supongo que pueden ser las propiedades (iv), pero no sé por qué. ¿Es porque $\displaystyle\int_{\mathbb{R}}[\partial_tu(x,t)\bar{u}(x,t)+u(x,t)\partial_t\bar{u}(x,t)]\,dx=\int_{\mathbb{R}}[\partial_x^2u(x,t)\bar{u}(x,t)+u(x,t)\partial_x^2\bar{u}(x,t)]\,dx$ que está uniformemente acotado en $t$ como $(iv)$ ¿reclamaciones?

Answer 1

Tomaré nota $$a_{k,l} = \sup_{\substack{x\in\mathbb{R}\\0<t<T}} \lvert x\rvert^k \left\lvert \frac{\partial^l}{\partial x^l}u(x,t) \right\rvert$$

Entonces $$ \lvert \partial_x^2u(x,t)\bar{u}(x,t)+u(x,t)\partial_x^2\bar{u}(x,t)\rvert \leq 2 a_{0,2}a_{0,0} $$ Y $$ \lvert \partial_x^2u(x,t)\bar{u}(x,t)+u(x,t)\partial_x^2\bar{u}(x,t)\rvert \leq 2 a_{2,2}a_{2,0}\lvert x\rvert^{-2} $$ Por lo tanto, $$ \lvert \partial_x^2u(x,t)\bar{u}(x,t)+u(x,t)\partial_x^2\bar{u}(x,t)\rvert \leq 2\min( a_{0,2}a_{0,0}, a_{2,2}a_{2,0}\lvert x\rvert^{-2} )$$

Así que la norma de $\partial_t \lvert u(x,t)\rvert^2$ está dominada por una función integrable, lo que justifica la diferenciación bajo el signo integral.