$H^4$ del Monstruo

Question

El grupo Monster $M$ actúa sobre el álgebra de vértices de la luna $V^\natural$ .

Porque $V^\natural$ es una álgebra de vértice holomorfa (es decir, tiene un único módulo irreducible), existe una clase de cohomología correspondiente $c\in H^3(M;S^1)=H^4(M;\mathbb Z)$ asociado a esta acción.

A grandes rasgos, la construcción de esa clase es la siguiente:

• Por cada $g\in M$ , elija un módulo retorcido irreducible $V_g$ (sólo hay uno hasta el isomorfismo).
• Para cada par $g,h\in M$ , elija un isomorfismo $V_g\boxtimes V_h \to V_{gh}$ ,
• donde $\boxtimes$ denota la fusión de las repeticiones retorcidas.
• Dados tres elementos $g,h,k\in M$ el cociclo $c(g,h,k)\in S^1$ es la discrepancia entre $$ (V_g\boxtimes V_h)\boxtimes V_k \to V_{gh}\boxtimes V_k \to V_{ghk}\qquad\text{and}\qquad V_g\boxtimes (V_h\boxtimes V_k) \to V_g\boxtimes V_{hk} \to V_{ghk} $$

Creo que no se sabe mucho sobre $H^4(M,\mathbb Z)$ . Pero, ¿se sabe tal vez algo de esa clase de cohomología? ¿Es distinta de cero? Suponiendo que sea distinta de cero, ¿tendría eso alguna implicación?

Y lo que es más importante: ¿cuál es el que significa de esa clase?

Answer 1

Hay algunas pruebas de personajes que $H^4(M,\mathbb{Z})$ contiene $\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$ . En particular, la clase de conjugación 24J (formada por ciertos elementos de orden 24) tiene un carácter de nivel 288, y los correspondientes módulos retorcidos irreducibles tienen un carácter cuya expansión es en potencias de $q^{1/288}$ . La fusión en un grupo cíclico generado por un elemento 24J produce entonces un $1/12$ discrepancia en $L_0$ -eigenvalores, lo que significa que recogerás 12 raíces de la unidad del asociador. Si se tira hacia atrás a lo largo de un mapa punteado $B(\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}) \to BM$ correspondiente a un elemento de la clase 24J (es decir, si te olvidas de los módulos retorcidos fuera de este grupo cíclico) obtienes un cociclo de orden 12. Este es el mayor orden que se puede obtener por este método - todo lo demás divide a 12. No sé cómo encajan los cociclos correspondientes a diferentes grupos cíclicos.

No sé si has visto el periódico de Mason, Teoría del campo conforme del orbifold y cohomología del monstruo pero se trata de cosas relacionadas. Sin embargo, no entiendo cómo consiguió su metateorema con el número 48 al final.

En cuanto a las implicaciones o el significado del cociclo, todo lo que puedo decir es que el automorfismo 2-grupo de la categoría de módulos retorcidos de $V^\natural$ tiene el monstruo como su truncamiento, y su estructura de 2 grupos es no trivial. He oído algunas especulaciones sobre la cohomología elíptica equivariante del monstruo, pero no las entiendo. Si crees en AdS/CFT, esto podría decir algo sobre la gravedad cuántica pura en 3 dimensiones, pero no tengo ni idea de qué sería.

Actualización del 2 de noviembre de 2011: Estuve en una conferencia en septiembre, donde G. Mason me señaló que $H^4(M,\mathbb{Z})$ probablemente contiene un elemento de orden 8, y por lo tanto también $\mathbb{Z}/24\mathbb{Z}$ . Creo que el argumento fue el siguiente: hay un elemento de orden 8 $g$ cuyo centralizador en el monstruo actúa proyectivamente sobre el único irreducible $g$ -módulo trenzado del álgebra de vértices del monstruo $V^\natural$ , de manera que hay que pasar a una extensión central cíclica de grado 8 para obtener una acción honesta. En lugar de limitarse a mirar $L_0$ -eigenvalores, es necesario examinar las tablas de caracteres para eliminar las extensiones centrales más pequeñas aquí. Naturalmente, al igual que las afirmaciones que he descrito antes, la validez de este argumento depende de algunas conjeturas estándar sobre la estructura de los módulos retorcidos.

Parece que el cálculo teórico de grupo pertinente puede ser conocido por S. Norton desde hace bastante tiempo. En su artículo de 2001 _De la luz de la luna al monstruo_ que reconstruía información sobre el monstruo a partir de una forma revisada de la conjetura generalizada de la luna, incluía explícitamente una ambigüedad de la raíz de la unidad 24. Había pensado que quizás simplemente le gustaba más el número 24 que el 12, pero ahora me inclino por la posibilidad de que tuviera una buena razón.

Answer 2

En arXiv:1707.08388 , calculo que la clase de cohomología que has descrito tiene orden 24 y que no es una clase característica en el sentido ordinario.