¿Cómo demostrar que algo es definible o no definible en una estructura dada?

Question

Hola amigos de las matemáticas :) Tengo algunos problemas con el tema "¿Es algo definible en una estructura? Puedo resolver algunos problemas por ejemplo las siguientes preguntas:

• ¿Es la relación definible en la estructura $(\Bbb{Q},+,0,1)$
• ¿Es la función "sin" definible en la estructura $(\Bbb{R},<,+,\cdot,0,1)$
• Es $\Bbb{N}$ subconjunto definible de $(\Bbb{Z},<,+,\cdot,0,1)$

Las respuestas son No, No, Sí resp.

Pero ahora quiero resolver los siguientes problemas:

• Es $\Bbb{Z}$ subconjunto definible de $(\Bbb{R},<,+,\cdot,0,1)$
• Es $\Bbb{Q}$ subconjunto definible de $(\Bbb{R},<,+,\cdot,0,1)$
• No existe ninguna fórmula libre de qeuntificadores que defina el conjunto $2\Bbb{Z}$ en la estructura $(\Bbb{Z},+,<,S,0)$ (con $S$ la función de sucesión)

Para el primer problema pensé esto: Si podemos definir $\Bbb{Z}$ entonces podríamos encontrar un polinomio con ceros en todos los enteros. Pero tal polinomio no existe. No sé cómo resolverlo de otra manera. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias de antemano :)

Answer 1

Para la no definibilidad de $\mathbb{Z}$ en los reales, existe una buena teoría estructural (palabra clave: o-minimal) para los subconjuntos definibles de $\mathbb{R}$ . También se puede argumentar utilizando la decidibilidad/decidibilidad.

Es un viejo resultado de Tarski que existe un procedimiento de decisión para la teoría elemental de los campos reales cerrados. Si $Z$ fuera definible, ese procedimiento de decisión podría utilizarse para producir un procedimiento de decisión que determinara, para cada frase $\phi$ , ya sea o no $\phi$ es verdadera en los números naturales.

Para la definibilidad de $\mathbb{Q}$ , de nuevo información estructural sobre subconjuntos definibles de $\mathbb{R}$ lo hará. Otro enfoque es utilizar el viejo, y no fácil, resultado de Julia Robinson de que los números naturales son definibles en $\mathbb{Q}$ . (Véase Problemas de definibilidad y decisión en aritmética Journal of Symbolic Logic, Vol. 14, No. 2 (junio de 1949).

Por lo tanto, si $\mathbb{Q}$ eran definibles en $\mathbb{R}$ entonces $\mathbb{Z}$ sería. Esto, como se ha demostrado anteriormente, no es cierto.