Resolver la desigualdad: $-5 < \frac{1}{x} < 0$

Question

Resolver la desigualdad: $-5 < \frac{1}{x} < 0$

Pensé acerca de cómo puedo solucionar esto. Si me multiplicar todos lados por $x$ me temo que la eliminación de la respuesta, causa $\frac{x}{x}=1$. Y al $x$ 'hojas' de la desigualdad yo me quedo con ninguna letra.

¿Cómo puedo obtener solamente $x$ en el medio sin la adición de $x$ a otros lados o la eliminación de $x$?
Vi entonces que: $\frac{1}{x} = -x$. Así que puedo multiplicar todos lados con $-1$. Esto también cambia los signos. Así que yo me quedo con: $5> x > 0$.

Es esto correcto? Si no ¿qué hice mal?

Answer 1

Ya que usted sabe que $x\neq 0$ puede multiplicar por $x$. Sólo recuerde que $x<0$. Así, multiplicando por $x$ invierte las desigualdades.

Entonces usted consigue $-5x>1>0$. Esto le da a $-5x>1$. Ahora divida por $-5$.

Answer 2

Usted no tiene que, necesariamente, poner $x$ al centro directamente. Una forma de resolver esta doble desigualdad es dividir a un sistema de dos desigualdades:

$$\begin{cases}-5<\frac1x\\ \frac1x<0\end{casos}$$

Desde el segundo uno consigue $x<0$, y a partir de la primera puedes obtener $x<-\frac15$ (no hay que olvidar que $x<0$).

Ahora la respuesta es la intersección de los dos intervalos de tiempo: $x\in(-\infty,0)\cap(-\infty,-\frac15)=(-\infty,-\frac15)$.

Answer 3

Tenga en cuenta que dado $-5\lt \frac 1x \lt 0$, sabemos que $$\frac 1x < 0 \implies x< 0$$. So when you multiply by $x$ para quitar del denominador, usted necesita para invertir las direcciones de las desigualdades.

$$-5 \lt \frac 1x \iff -5x \gt 1\iff x \lt -\frac 15 $$ and $$\frac 1x <0 \iff x\lt 0$$ The second inequality we already know, and so the first inequality is the stricter of the two that must be met for both inequalities to hold. $ x\lt \dfrac{-1}{5}$.