Mi pregunta es exactamente como el título indica. Estoy luchando por encontrar un ejemplo de una secuencia acotada $(x_n)$ donde $(\lim\sup x_n)^2\neq \lim \sup (x_n^2)$ . ¿Alguien tiene algún ejemplo sencillo? Gracias de antemano.
¿Funciona esto? $(x_n)=(-1,-2,-1,-2,...)$ . Entonces $(\lim\sup x_n)^2=(-1)^2=1$ pero $(x_n)^2=(1,4,1,4,...)$ así que $\lim \sup (x_n^2)=4$
¿Funciona esto? $(x_n)=(-1,-2,-1,-2,...)$ . Entonces $(\lim\sup x_n)^2=(-1)^2=1$ pero $(x_n)^2=(1,4,1,4,...)$ así que $\lim \sup (x_n^2)=4$
Sí, eso funciona perfectamente, y es esencialmente lo que estaba insinuando con mi comentario. Como extensión, intente mostrar $$\limsup (x_n^2) = \max\left((\limsup(x_n))^2,(\liminf(x_n))^2\right)$$ (También puede tratar de encontrar una fórmula para $\liminf(x_n^2)$ pero es un poco más difícil de escribir)
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