La integración de Pareto de las colas a través de una desplazado a la distribución lognormal

Question

En busca de la integral:

Con $b>0, L>0, \alpha_0>b,\sigma>0, x>L$ ,

$$\phi(x;\alpha_0,\sigma_)=\int_b^\infty\alpha L^{\alpha } x^{-\alpha -1} \frac{e^{-\frac{\left(\log (\alpha -b)-\log (\alpha_0-b)+\frac{\sigma ^2}{2}\right)^2}{2 \sigma ^2}}}{\sqrt{2 \pi } \sigma (\alpha -b)}d\alpha$$

$\textbf{Background}$: Esta es la densidad de una distribución de Pareto $\alpha L^{\alpha } x^{-\alpha -1} $ con su cola exponente $\alpha$ distribuidos de acuerdo a un desplazado logarítmico-normal con una media de $\alpha_0$ y el límite inferior $b$. En otras palabras $\alpha + b$ sigue una $\text{LogNormal}\left(\log (\alpha_0-b)-\frac{\sigma ^2}{2},\sigma \right)$.

Answer 1

La integral no parece admitir una solución de forma cerrada. Pero, con b=1 (que es el límite inferior de b),obtenemos:

$$\phi(x;\alpha_0,\sigma)=\frac{1}{x^2 }\sum _{i=0}^\infty \frac{1}{i!}L (\alpha_0-1)^i e^{\frac{1}{2} i (i-1) \sigma ^2} \frac{(i+\log (\frac{L}{x})}{\log (\frac{L}{x})^{1-i} }$$

Este resultado se obtiene mediante la expansión de $\alpha$ alrededor de su límite inferior $b$ (que hemos simplificado a $b=1$) y la integración de cada sumando.

Sabemos que como $x \to \infty$ la densidad de $\phi$ colapsa a las leyes de poder con una cola de $\alpha=1$, es decir, donde K es una aportación constante, $\phi(x)= K x^{-2}$.

$\textbf{Expectation: }$ , Incluso en la ausencia de un totalmente explícita la densidad, se puede extraer la expectativa explicita de la siguiente manera. Integrando primero con respecto a $x$: $$ \int_b^\infty \int_L^\infty x \phi(x;\alpha)\,\mathrm{d}x \mathrm{d}\alpha= \int_L^\infty \frac{\alpha L \exp \left(-\frac{\left(2 \log (\alpha -b)-2 \log (\text{$\alpha $0}-b)+\sigma ^2\right)^2}{8 \sigma ^2}\right)}{\sqrt{2 \pi } (\alpha -1) \sigma (\alpha -b)}\mathrm{d}\alpha$$ Con, de nuevo, b=1: $$ \mathbb{E}(X)= \frac{L \left(\alpha_0+e^{\sigma ^2}-1\right)}{\alpha_0-1}$$