Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria binomial $\sim B(p, n)$ . Demuestre que para $\lambda > 0$ y $\epsilon > 0$ , $P(X - np > n\epsilon) \le \mathbb{E}\{\displaystyle e^{\lambda(X - np - n\epsilon)}\}$
Lo intenté así:
Dejemos que $A = \{ \omega \in \Omega: X(\omega) > n(\epsilon + p)\}$ . A continuación, observe que
$$e^{\lambda(X(\omega) - np - n\epsilon)} \ge 1_A(\omega)$$
De hecho, es obvio que si $\omega \notin A$ y si $\omega \in A$ el lado derecho es $1$ y el lado izquierdo se eleva a una potencia $> 0$ por lo que es en sí mismo $> 1$ .
Así que tomando la media de ambos lados se obtiene
$$\mathbb{E}\{\displaystyle e^{\lambda(X - np - n\epsilon)}\} \ge P(A) = P(X - np > n\epsilon)$$ que es lo que quería demostrar.
(Porque $\mathbb{E}\{1_A\} = P(A)$ )
Sin embargo, algo tiene que estar mal, porque en ninguna parte he utilizado el hecho de que $X$ es una variable aleatoria binomial.
¿Qué tiene de malo?
