Dejemos que $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ sea un espacio de probabilidad. En la teoría de la probabilidad se dice que un evento $F\in\mathcal F$ sucede $\mathbb P$ -casi seguro, si $\mathbb P(E)=1.$ Intuitivamente, como principiante uno piensa que esto significa que existe un evento $N\in\mathcal F$ con $\mathbb P(N)=0$ y tal que el evento $E\setminus N$ sucede seguramente ? ¿Esta intuición es generalmente cierta? ¿Contraejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En muchos espacios de probabilidad hay eventos $E \subsetneq \Omega$ y $\varnothing \neq N \subset \Omega$ tal que $P(E)=1$ y $P(N)=0$ .
Tomemos como ejemplo el siguiente escenario:
Supongamos que se lanza una moneda justa infinitas veces. El espacio muestral $\Omega$ serán todas las secuencias que se parezcan a $(x_1, x_2, x_3, …)$ donde $x_i = 0$ si se da la vuelta a la cola y $x_i= 1$ si sale cara. Por ejemplo, si las dos primeras tiradas fueron cruz y la tercera cara, se tiene una secuencia que comienza con $(0,0,1,x_4, …)$ . Ahora, preguntemos: ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda salga toda cara? El suceso que queremos mirar es $N = \{(1,1,1,1,1,1,…)\}$ y $$P(N) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdots = \lim_{n \to \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n = 0.$$ Esto tiene sentido intuitivamente, ya que ¿cuál es la probabilidad de sacar todas las cabezas con una moneda justa y con un número infinito de lanzamientos? Pero, se puede utilizar esta misma estrategia y ver que la probabilidad de cualquier secuencia fija de lanzamientos de la moneda debe ser $0$ . Pero, de nuevo, esto tiene sentido de forma intuitiva, porque ¿cuál es la probabilidad de que se lancen exactamente las mismas caras de la moneda en el mismo orden que la secuencia fijada para un número infinito de lanzamientos?
Ahora, si pregunto cuál es la probabilidad de que salga cara en su primer lanzamiento, llamemos a este evento $H$ la respuesta es, sensiblemente, la siguiente $P(H)=\frac{1}{2}$ . Entonces, ¿cómo podemos fusionar una probabilidad positiva de eventos como $H$ cuando tenemos que cada resultado individual tiene probabilidad $0$ ? Este es el reto al que ha venido a responder la teoría de la medida. Si $P$ es esa medida (la medida de probabilidad) y ahora se pregunta cuál es la probabilidad del evento $E$ ¿que no se voltean todas las cabezas? Bueno, la probabilidad de sacar todas las caras es $0$ Así que $P(E) =1$ . Pero $E \neq \Omega$ desde $E = \Omega \backslash \{(1, 1, 1, 1, …)\}$ . Por lo tanto, ¿podemos decir que si se lanza una moneda infinitas veces, entonces se seguramente tener un resultado que caiga en $E$ ? No. Puede ocurrir que salga todo cara. Aunque, como la probabilidad de que eso ocurra es $0$ (y sólo basándonos en nuestra intuición de lo probable que es), se casi seguramente voltear una secuencia que cae en $E$ .
