Cómo resolver $\int_C Im(z) dz$ donde $C$ es el círculo unitario

Question

Quiero resolver $\int_C Im(z) dz$ donde $C$ es el círculo unitario. Lo primero es parametrizar la curva, $C$ : $$ z(t)=e^{it} $$ donde $0\leq t \leq 2\pi$

Entonces $$ \frac {dz}{dt} = ie^{it} $$

y: $$ f(z(t)) = Im(z(t)) = Im(e^{it})=Im(\cos(t)+i\sin(t))=i\sin(t) $$

Entonces $\int_C f(z) dz$ = $\int\limits_{a}^{b} f(z(t))\cdot z'(t)dt = \int\limits_{0}^{2\pi} i\sin(t)\cdot ie^{it}dt = -\int\limits_{0}^{2\pi} \sin(t)\cdot e^{it} dt$

Dejemos que $I = \int\limits_{0}^{2\pi} \sin(t)\cdot e^{it} dt$ por integración por partes: $$ u=sin(t) $$ $$ du = cos(t)dt $$ $$ dv=e^{it}dt $$ $$ v=\frac{1}{i}e^{it} $$

Y luego $$ -I=\frac{1}{i}\sin(t)\cdot e^{it}-\frac{1}{i}\int\limits_{0}^{2\pi} \cos(t)\cdot e^{it} dt $$

Por otra integración por partes:

$$ u=\cos(t) $$ $$ du = -\sin(t)dt $$ $$ dv=e^{it}dt $$ $$ v=\frac{1}{i}e^{it} $$

Al final: $$ -I=\frac 1i\sin(t)\cdot e^{it}-\frac 1i(\frac 1i\cos(t)e^{it}+\frac 1iI) $$ $$ -I=\frac 1i\sin(t)\cdot e^{it}+\cos(t)e^{it}+I $$

$$ I=\frac {\frac 1i\sin(t)\cdot e^{it}+cos(t)\cdot e^{it}}{-2} $$

y si subsumo $2\pi$ y $0$ : $$ -\frac 12-\frac 12=0 $$ Pero el libro espera que la respuesta sea $-\pi$ . ¿Qué hay de malo en mi solución? Otra pregunta que tengo es que $Im(z)$ es analítica en todas partes y $C$ (el círculo unitario) es un camino cerrado, por lo que según el teorema de la integral de Cauchy, la integral debería ser $0$ ¿No es así?

Answer 1

Es difícil integrar por partes aquí sin cometer algunos pequeños errores innecesarios. (Por ejemplo, el lado izquierdo después de su primera integración debería ser $I$ no $-I$ .)

Un enfoque más sencillo es:

\begin{align} \int_0^{2\pi} \operatorname{Im}(z(t)) z'(t)\,dt &= \int_0^{2\pi} \frac{e^{it}-e^{-it}}{2i} \cdot ie^{it} \,dt \\ &= \frac12\int_0^{2\pi} (e^{2it}-1)\,dt \\ &= \frac12 \left[ \frac{e^{2it}}{2i}-t \right]_0^{2\pi} = -\pi. \end{align}

En cuanto a su última pregunta $ \operatorname{Im}(z)$ es de hecho en ninguna parte analítica.

Answer 2

$$\int_0^{2\pi}\Im(e^{it})\,de^{it}=\int_0^{2\pi}\sin(t)ie^{it}dt=i\int_0^{2\pi}(\sin(t)\cos(t)+i\sin^2(t))dt=i2\pi i\frac12=-\pi,$$ tomando los valores medios de las expresiones trigonométricas.