¿Se pueden escribir todos los números reales como decimales únicos infinitos?

Question

Una ligera variación de esta pregunta: ¿Puede todo número real ser representado por un decimal (posiblemente infinito)?

Aquí restrinjo mi discusión a los decimales infinitos (sin terminar con ceros infinitos a partir de alguna parte del número):

Mi pregunta es sencilla, ¿es esta representación única?

Answer 1

En primer lugar, observe lo siguiente, donde $(a_i)$ son los dígitos de alguna expansión decimal: $$\sum_{i=n}^\infty a_i 10^{-i}\le \sum_{i=n}^\infty 9. 10^{-i}=10^{-(n-1)}$$ La primera parte se desprende de la comparación de los coeficientes y la segunda es simplemente un cálculo de progresión geométrica: es esencialmente el resultado "0,999...=1".

Ahora supongamos que tenemos dos expansiones decimales diferentes $\sum_{i=m}^\infty a_i 10^{-i}$ y $\sum_{i=m}^\infty b_i 10^{-i}$ que difieren por primera vez cuando $i=n-1$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $a_{n-1}<b_{n-1}$ Así que $a_{n-1}+1\le b_{n-1}$ . Tenemos $$\begin{align} \sum_{i=m}^\infty a_i 10^{-i}&=\sum_{i=m}^{n-2} a_i 10^{-i}+a_{n-1}10^{-(n-1)}+\sum_{i=n}^\infty a_i 10^{-i} \\ &\le\sum_{i=m}^{n-2} a_i 10^{-i}+a_{n-1}10^{-(n-1)}+10^{-(n-1)} \\ &\le\sum_{i=m}^{n-2} a_i 10^{-i}+b_{n-1}10^{-(n-1)} \end{align}$$ Sin embargo, debido a que el $a_i$ s y $b_i$ s match for $i \le n-2$ , $$\begin{align} \sum_{i=m}^\infty b_i 10^{-i}&=\sum_{i=m}^{n-2} a_i 10^{-i}+b_{n-1}10^{-(n-1)}+\sum_{i=n}^\infty b_i 10^{-i} \\ &\ge \sum_{i=m}^\infty a_i 10^{-i}+\sum_{i=n}^\infty b_i 10^{-i} \end{align}$$ Por lo tanto, la igualdad de las dos expansiones sólo puede lograrse si $\sum_{i=n}^\infty b_i 10^{-i}=0$ , lo que no es el caso si se insiste en que las expansiones decimales son infinitas. Así, una expansión decimal infinita de un número es única.