Si $f \in L^2(\mathbb{R}^2)$ tiene $\sum_{j=1}^n \xi_j \hat{f}(\xi) \in L^2$ ¿Implica eso que $f \in H^1(\mathbb{R}^n)$ ?

Question

Dejemos que $f \in L^2(\mathbb{R}^n)$ . Para una función $h \in L^2(\mathbb{R}^n)$ , dejemos que $\hat{h}$ denota su transformada de Fourier. Supongamos que se sabe que la función $$g(\xi) = \sum_{j=1}^n \xi_j \hat{f}(\xi)$$

pertenece a $L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Me gustaría saber si es cierto que cada función $\xi_j \hat{f}(\xi)$ pertenece a $L^2(\mathbb{R}^n)$ .

Conceptualmente, esta propuesta se pregunta si $f$ teniendo una combinación de todos sus derivados distributivos en $L^2$ implica que $f \in H^1(\mathbb{R}^n)$ .

Mi intento hasta ahora se basa en establecer una desigualdad de la forma $$|\xi_k| \le C \left|\sum_{j =1}^n \xi_j \right|, \qquad k =1 ,\dots , n,$$

para algunos $C > 0$ . Esto dirá entonces que $\|\xi_k \hat{f}\|_{L^2} \le C \|g\|_{L^2}$ Y esta es la conclusión que quiero. Pero hasta ahora estoy atascado. ¿Podría ser que la proposición no sea verdadera?

Se agradecen mucho los consejos o soluciones.

Answer 1

El resultado deseado no se cumple.

Realizando una transformación ortogonal de $\mathbb{R}^n$ su hipótesis equivale a preguntarse si

$$ g\in L^2(\mathbb{R}^n) \wedge \partial_{x^1} g \in L^2(\mathbb{R}^n) \implies g \in H^1(\mathbb{R}^n) $$

lo cual es claramente falso.

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Para un contraejemplo explícito: Sea $n = 2$ . Sea $\chi$ sea la función característica del conjunto $[-1,1]\subset \mathbb{R}$ y que $\eta$ sea cualquier función de baches suaves. Tome

$$ f(x_1,x_2) = \chi(x_1 - x_2) \eta(x_1+x_2) $$

entonces puede comprobar que $f\in L^2$ y $(\xi_1 + \xi_2) \hat{f} \in L^2$ pero $f\not\in H^1$ .