Encuentre un $3\times 3$ matriz $X$ , de tal manera que $X^{3}$ = matriz específica

Question

Posible duplicado:
Dada una matriz $A$ encontrar una matriz $C$ tal que $C^3$ = $A$

Me he topado con la siguiente pregunta mientras estudiaba para un examen de álgebra lineal:

Encontrar una matriz $X $ de $3 \times 3$ tal que:

$X^3 = $ $ \left( \begin{array}{ccc} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $

Nunca he visto este tipo de preguntas y ni siquiera sé si debo saber cómo resolverlo. ¿Alguien puede ayudarme?

Answer 1

Para esta pregunta en particular, sólo hay que verificar que $\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^3=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ . En general, si se quiere encontrar una matriz $X$ tal que $X^3=A$ para un determinado $A$ puede tratar de diagonalizar $A$ como $PDP^{-1}$ para alguna matriz diagonal $D$ y alguna matriz invertible $P$ y, a continuación, establecer $X=PD^{1/3}P^{-1}$ , donde $D^{1/3}$ es la raíz cúbica de entrada o $D$ . Puede utilizar un sistema de álgebra computacional para ayudarte.